三角関数の加法定理は、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
で表されます。
証明方法はいくつかあります。
このページでは、オイラーの公式を用いて証明していきます。
オイラーの公式とは、指数関数と三角関数に次のような関係があることをいいます。
\begin{equation}
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \tag{1}
\end{equation}ここでiは虚数単位で、
\begin{equation}
i^2=-1 \tag{2}
\end{equation}を満たす数です。
θの単位はラジアンで、半径1、中心角θの扇形の弧の長さはθとなります。
指数関数は、
\begin{equation}
e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} e^{i\beta} \tag{3}
\end{equation}を満たします。
式(3)の3つの指数関数のそれぞれに、式(1)を当てはめると次のようになります。
\begin{equation}
\cos (\alpha+\beta) + i \sin(\alpha+\beta) = (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta) \tag{4}
\end{equation}
式(4)の右辺を、式(2)に注意して展開します。
\begin{equation}
\cos (\alpha+\beta) + i \sin(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + i(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \tag{5}
\end{equation}
式(5)の実部と虚部はそれぞれ等しいので、
\begin{eqnarray}
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
