曲線の長さ - 数式で独楽する

曲線 $C$ の長さlは、
\begin{equation}
l = \int_C dl \tag{1}
\end{equation}で表されます。

いきなり大上段な表現になりました。
しかも積分記号まで使っています。

式(1)がなぜ曲線 $C$ の長さを表すのか？
式(1)の意味するところは次の通りです。

微小な長さ $dl$ を、
曲線 $C$ について「足し合わせて」います。
したがって、求める曲線 $C$ の長さlを得ることができます。

「足し合わせる」のが、積分記号に相当します。
微小な長さを際限なく細かくし、それらを全て足し合わせることなので、無理やり和の記号や極限の記号を使って書くと、
\begin{equation}
l = \lim_{\Delta l \to 0} \sum_{\Delta l} \Delta l = \int_C dl
\end{equation}ということです。
積分記号の下に付いているものは、積分の範囲を表しています。
式(1)の場合は曲線 $C$ が積分の範囲です。
積分の範囲が線上で、始点と終点がある場合は、
\begin{equation}
l = \int_\mathrm{P}^\mathrm{Q} dl
\end{equation}のように書きます。

さて、式(1)を2次元の直交座標系で表現することを考えます。

図より、
\begin{equation}
(\Delta l)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2
\end{equation}です。ここで $l, x, y$ が媒介変数 $t$ の関数であるとすると、
\begin{equation}
\Delta l = \frac{\Delta l}{\Delta t} \Delta t
= \sqrt{\left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right) ^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right) ^2} \Delta t
\end{equation}となります。 $\Delta t \to 0$ の極限をとると、
\begin{equation}
dl = \frac{dl}{dt} dt = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2} dt
\end{equation}となります。*1
これを式(1)に入れると、
\begin{eqnarray}
l &=& \int_C dl \\
&=& \int_C \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2} dt \tag{2}
\end{eqnarray}
となります。
特に、 $x=t$ の場合、式(2)は
\begin{equation}
l = \int_C \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) ^2} dx \tag{3}
\end{equation}となります。

3次元であれば、式(2), (3)は、
\begin{eqnarray}
l &=& \int_C \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right) ^2} dt \tag{2'} \\
l &=& \int_C \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) ^2 + \left( \frac{dz}{dx} \right) ^2} dx \tag{3'}
\end{eqnarray}
となります。

*1: $\Delta t \to 0$ としたとき、 \begin{eqnarray} \frac{\Delta l}{\Delta t} & \to & \frac{dl}{dt} \\ \frac{\Delta x}{\Delta t} & \to & \frac{dx}{dt} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t} & \to & \frac{dy}{dt} \\ \sum \Delta l & \to & \int_C dl \\ \sum \cdots \Delta t & \to & \int_C \cdots dt \end{eqnarray} としています。