図において、∠POQの大きさは、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_{x_0}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
本稿では、こんなもので角度を表すことができるのか？
を考えていきます。
「弧度法」による角の表現とは、
角の大きさ、弧度法 - 数式で独楽する
で、
角の頂点を中心にして円を描き、
角をなす2辺の間にできる扇型の円弧の長さの、
円の半径に対する比
と書きました。
言い換えると、
半径1の扇形の弧の長さ
で角度を表すということです。
ということで、図の弧PQの長さを求めていきます。
まず、弧PQ上の点は、
\begin{equation}
x^2+y^2=1\tag{2}
\end{equation}を満たします。yはxで表すことができるので、弧の長さは、
\begin{equation}
\theta = \int_{x_0}^1 \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) ^2} dx \tag{3}
\end{equation}で表すことができます。
曲線の長さ - 数式で独楽する
式(2)を微分すると、
\begin{equation}
2x\ dx+2y\ dy=0
\end{equation}より、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y}
\end{equation}となります。
これを式(3)に入れると、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_{x_0}^1 \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}} dx
\end{equation}となります。
再び式(2)を用いると、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_{x_0}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \tag{1}
\end{equation}を得ることができます。
さて、冒頭に掲げた式(1)の意味するところは何でしょうか？
もう少し踏み込んでみましょう。
式(1)において、
\begin{equation}
x = \cos \theta \tag{4}
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
x=1のとき、\cos \theta= 1 なので、\theta = 0
\end{equation}です。また、
\begin{equation}
x=x_0のとき、\cos \theta_0 = x_0で\theta = \theta_0
\end{equation}とします。
式(4)を微分すると、
\begin{eqnarray}
dx &=& - \sin \theta \ d\theta \\
&=& -\sqrt{1-\cos^2 \theta} \ d\theta \\
&=& -\sqrt{1-x^2} d\theta
\end{eqnarray}
となります。これら全てを式(1)の右辺に入れると、
\begin{eqnarray}
\int_{x_0}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} &=& -\int_{\theta_0}^0 d\theta \\
&=& \int_0^{\theta_0} d\theta \\
&=& \left[ \ \theta \begin{array}{cc}
\\
\\
\end{array}
\right] _0^{\theta_0} \\
&=& \theta_0
\end{eqnarray}
となります。
つまり、式(1)の意味するところは、
\begin{equation}
x_0 = \cos \theta_0
\end{equation}すなわち、逆三角関数
\begin{equation}
\theta_0 = \cos^{-1} x_0
\end{equation}ということです。
