京大 2008年理系第5問 - 数式で独楽する

次の式で与えられる底面の半径が2、高さが1の円柱 $C$ を考える。
\begin{equation}
C = \left \{ \left. (x,y,z) \right| x^2 +y^2 \leqq 4, \ 0 \leqq z \leqq 1 \right \}
\end{equation} $xy$ 平面上の直線 $y=1$ を含み、 $xy$ 平面と45°の角をなす平面のうち、点(0, 2, 1)を通るものを $H$ とする。円柱 $C$ を平面 $H$ で2つに分けるとき、点(0, 2, 0)を含む方の体積を求めよ。

解答例
解説

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解答例

まず、平面 $H$ の式は
\begin{equation}
z = y -1
\end{equation}です。

体積 $V$ を求める立体を、平面 $y = t$ で切断したときの断面を考えます。
幅は $2\sqrt{4 -t^2}$ 、高さは $t -1$ の長方形です。断面積 $S(t)$ は
\begin{equation}
S(t) = 2\sqrt{4 -t^2} (t -1)
\end{equation}です。

体積 $V$ は、
\begin{eqnarray}
V &=& \int_1^2 S(t) \, dx \\
&=& \int_1^2 2\sqrt{4 -t^2} (t -1) \, dt \tag{1}
\end{eqnarray}となります。

式(1)を計算していきます。
\begin{equation}
\int_1^2 \sqrt{4 -t^2} \, t \, dt = \left[ -\frac{1}{3} \, (4 -t^2)^{3/2} \right]_1^2 = \sqrt{3} \tag{2}
\end{equation}です。

\begin{equation}
t = 2\sin u
\end{equation}とすると
\begin{eqnarray}
dt &=& 2\cos u \, du \\
\sqrt{4 -t^2} &=& 2\cos u
\end{eqnarray}と変換でき、積分範囲は
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
t & 1 & \to & 2 \\ \hline
u & \pi/6 & \to & \pi/2 \\ \hline
\end{array}となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\int_1^2 \sqrt{4 -t^2} \, dt &=& 4\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos^2 u \, du \\
&=& 2\int_{\pi/6}^{\pi/2} (\cos 2u +1) \, du \\
&=& \biggl[ \sin 2u +2u \biggr]_{\pi/6}^{\pi/2} \\
&=& \pi -\left( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\pi}{3} \right) \\
&=& \frac{2}{3} \, \pi -\frac{\sqrt{3}}{2} \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する

式(1)~(3)より、求める体積は
\begin{eqnarray}
V &=& 2\left \{ \sqrt{3} -\left( \frac{2}{3} \, \pi -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right \} \\
&=& 3\sqrt{3} -\frac{4}{3} \, \pi
\end{eqnarray}となります。