(sin x)/xの極限 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\lim_{n \to 0} \frac{\sin x}{x} =1
\end{equation}

という関係は、三角関数では重要なものです。
この関係は、

\begin{equation}
x \ll 1のとき、\sin x \approx x
\end{equation}

を導きます。
この関係があればこそ、色々と便利な関係を導くことができるのです。
本稿では、この式を導いていきます。

x>0の場合

図において、ABは円弧で、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OA} &=& 1 \\
\mathrm{OB} &=& 1 \\
\stackrel{\frown}{\mathrm{AB}} &=& x \\
\mathrm{CB} &=& \sin x \\
\mathrm{AD} &=& \tan x
\end{eqnarray}
です。

また、図より、
\begin{equation}
\sin x < x < \tan x \tag{1}
\end{equation}です。

逆数をとると、
\begin{equation}
\frac{1}{\sin x} > \frac{1}{x} > \frac{1}{\tan x} \tag{2}
\end{equation}となります。

各辺に $\sin x$ を掛けます。
\begin{equation}
1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x \tag{3}
\end{equation}

ここで $x \to 0$ とすると、
\begin{equation}
\cos x \to 1
\end{equation}なので、必然と,
\begin{equation}
\frac{\sin x}{x} \to 1
\end{equation}となります。
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{equation}と書くところです。
ですが、この段階では $x$ を正側から0に近付けているので、
\begin{equation}
\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{4}
\end{equation}と書きます。

x<0の場合

基本的に、 $x>0$ の場合と同様に進めていきます。
ただし、 $x<0$ なので不等号の向きは逆になります。
式(1)は、
\begin{equation}
\sin x > x > \tan x \tag{1'}
\end{equation}
式(2)は、
\begin{equation}
\frac{1}{\sin x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\tan x} \tag{2'}
\end{equation}となります。

各辺に $\sin x \ (<0)$ を掛けます。不等号の向きはまた逆になります。
\begin{equation}
1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x \tag{3}
\end{equation}

ここで $x \to 0$ とすると、
\begin{equation}
\frac{\sin x}{x} \to 1
\end{equation}となります。
$x$ を負側から0に近付けているので、
\begin{equation}
\lim_{x \to -0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{4'}
\end{equation}と書きます。

まとめ

式(4)と(4')をまとめると、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{equation}となります。