\begin{equation}
\int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0)
\end{equation}
アルキメデスの螺旋の長さ - 数式で独楽する
2002年前期 京大 理系 第4問 - 数式で独楽する
では、
\begin{equation}
\sqrt{x^2 +1}
\end{equation}の定積分を扱っていますが、本稿では不定積分を導出します。代表的なものを2例紹介します。
被積分関数は簡単な形ですが、その内実は非常に曲者です。大学受験の諸氏にとってラスボス的な積分です。
双曲線関数で置換
こちらで扱います。
√(x^2+a^2)の不定積分 その1 - 数式で独楽する
三角関数で置換
本稿で扱います。
導出
\begin{equation}
I = \int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx
\end{equation}において、
\begin{equation}
x = a \tan t
\end{equation}と置きます。
\begin{eqnarray}
dx &=& a (\tan t)' dt \\
&=& \frac{a \, dt}{\cos^2 t} \\
\sqrt{x^2 +a^2} &=& a \sqrt{\frac{\sin^2 t +\cos^2 t}{\cos^2 t}} \\
&=& \frac{a}{\cos t}
\end{eqnarray}
正接の微分 - 数式で独楽する
なので、積分は
\begin{equation}
I = a^2 \int \frac{dt}{\cos^3 t}
\end{equation}となります。
変形を続けます。
\begin{eqnarray}
I &=& a^2 \int \frac{1}{\cos t} \, (\tan t)' \, dt \\
&=& \frac{a^2 \tan t}{\cos t} -a^2 \int \frac{\sin t}{\cos^2 t} \cdot \tan t \, dt \\
&=& \frac{a^2 \sin t}{\cos^2 t} -a^2 \int \frac{\sin^2 t}{\cos^3 t} \, dt \\
&=& \frac{a^2 \sin t}{\cos^2 t} -a^2 \int \frac{1 -\cos^2 t}{\cos^3 t} \, dt \\
&=& \frac{a^2 \sin t}{\cos^2 t} -I +a^2 \int \frac{dt}{\cos t}
\end{eqnarray}となります。
部分積分 - 数式で独楽する
再帰的にが現れました。これより、
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2 \sin t}{\cos^2 t} +a^2 \int \frac{dt}{\cos t} \right)
\end{equation}を得ます。
ここで、
\begin{equation}
\int \frac{dt}{\cos t} = \frac{1}{2} \, \log \frac{1 + \sin t}{1 - \sin t} + C''
\end{equation}を用います。は積分定数です。この積分の導出は、リンク先を参照ください。
三角関数の不定積分4 ~ 正割の不定積分 - 数式で独楽する
これより、置換した変数を戻していきます。
は直角三角形の底辺
は直角三角形の垂辺
なので
\begin{eqnarray}
\sin t &=& \frac{x}{\sqrt{x^2 +a^2}} \\
\cos t &=& \frac{a}{\sqrt{x^2 +a^2}}
\end{eqnarray}です。
すると、
\begin{eqnarray}
\int \frac{dt}{\cos t} &=& \frac{1}{2} \, \log \cfrac{\ 1 +\cfrac{x}{\sqrt{x^2 +a^2}} \ }{1 -\cfrac{x}{\sqrt{x^2 +a^2}}} +C'' \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \frac{\sqrt{x^2 +a^2} +x}{\sqrt{x^2 +a^2} -x} +C'' \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \frac{\left( \sqrt{x^2 +a^2} +x \right)^2}{(x^2 +a^2) -x^2} +C'' \\
&=& \log \frac{\sqrt{x^2 +a^2} +x^2}{a^2} +C'' \\
&=& \log \left( \sqrt{x^2 +a^2} +x \right) +C'
\end{eqnarray}となります。真数の分母は対数の引き算になり、積分定数に含まれることになります。
また、
\begin{eqnarray}
\frac{a^2 \sin t}{\cos^2 t} &=& \cfrac{\ a^2 \cdot \cfrac{x}{\sqrt{x^2 +a^2}} \ }{\cfrac{a^2}{x^2 +a^2}} \\
&=& x \sqrt{x^2 +a^2}
\end{eqnarray}です。
よって、
\begin{equation}
\int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0)
\end{equation}を得ます。なお、積分定数の定数倍は、別の積分定数としています。
