積分の個人的解釈 - 数式で独楽する

積分のイメージ

積分についての個人的なイメージを、本稿で書いていきます。
まず、次の式をご覧下さい。

\begin{equation}
x = \int dx \tag{1}
\end{equation}

いきなり積分記号 $\int$ を持ち出してどうするんだ？
とお叱りを受けそうです。
この式のイメージするところを述べていきます。

この式のイメージするところは、

部分を集めて全体を作る

ということです。つまり、

$dx$ ┅ $x$ を構成する微小な部分
積分記号┅ $dx$ を集めるということ

であり、式全体としては、

微小な部分 $dx$ を集めて $x$ を作る

というイメージです。
個人的な解釈です。

具体的な例を挙げると、

製品の部品を組み立てて、製品を作る
模型の部品を組み立てて、模型を作る
レゴブロックを組み立てて、作品を作る
小さいタイルを集めて、絵や模様を作る(モザイク)
コンピューター上でドット(点)を集めて、絵を描く(CG)

等、たくさん出てきます。
他にどのような例があるか、考えていくと楽しそうです。

積分のイメージから導けること

さて、式(1)は、文字を変えて
\begin{equation}
y = \int dy \tag{2}
\end{equation}と書いても意味はあまり変わりません。
文字 $x$ を $y$ に変えただけです。

ではここで、 $y$ が $x$ の関数であればどうでしょうか？
積分記号の中は、
\begin{equation}
dy = \frac{dy}{dx} \, dx
\end{equation}と表すことができます。
したがって、式(2)は、
\begin{equation}
y = \int dy = \int \frac{dy}{dx} \, dx = \int y' dx \tag{3}
\end{equation}となります。
つまり、式(3)は、