変数分離形の例 その2

変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。
本稿はその第2弾です。

\begin{equation}
y' = \frac{x}{y} \tag{1}
\end{equation}

まずを別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \tag{1'}
\end{equation}
この式は、次のように変形を分離できます。
\begin{equation}
y \ dy = x \ dx
\end{equation}

両辺を積分します。
\begin{eqnarray}
\int y \ dy &=& \int x \ dx \\
\frac{1}{2} y^2 &=& \frac{1}{2} x^2 -\frac{C}{2} \tag{2}
\end{eqnarray}
任意定数は両辺に出てきますが、任意なので右辺にまとめられます。
便宜上、任意定数はとしました。

式(2)の分母を払います。
\begin{equation}
y^2 = x^2 - C
\end{equation}
式を整理すると、解が得られます。
\begin{equation}
x^2 - y^2 = C
\end{equation}

これは、平面直交座標系のおよびを漸近線とする双曲線を表しています。