標題の「アイのアイジョウ」とは、
\begin{equation}
i^i
\end{equation}すなわち
ということです。
念のため、虚数単位とは、
\begin{equation}
i^2=-1 \quad \Longleftrightarrow \quad i=\sqrt{-1}
\end{equation}を満たす、複素数のもう１つの単位です。
冒頭の式を書き直すと、
\begin{equation}
i^i = {\sqrt{-1}}^\sqrt{-1}
\end{equation}となります。厳(いか)つい形ですね。
この数は、実数か？ 虚数か？
ということをみていきます。
オイラーの公式の証明 - 数式で独楽する
オイラーの公式
\begin{equation}
e^{ix} = \cos x + i \sin x \tag{1}
\end{equation}を用いてアプローチすることが可能です。
式(1)で
\begin{equation}
x=\frac{\pi}{2}
\end{equation}とします。
\begin{eqnarray}
\cos \frac{\pi}{2} &=& 0 \\
\sin \frac{\pi}{2} &=& 1
\end{eqnarray}
なので、
\begin{equation}
e^{\pi i/2} = i
\end{equation}となります。
さらに、両辺をi乗します。便宜上、左辺と右辺を入れ替えます。
\begin{eqnarray}
i^i &=& \left( e^{\pi i/2} \right)^i \\
&=& e^{\pi i \cdot i/2} \\
&=& e^{-\pi/2} \\
&=& 0.207879576\cdots
\end{eqnarray}
なんと、虚数単位が消えてしまいました。
つまり、虚数単位の虚数単位乗は、実数になるということですね。
