「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。
\begin{equation}
\left( \int_a^b (f(x))^2 dx \right) \left( \int_a^b (g(x))^2 dx \right) \geqq \left( \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right)^2 \tag{1}
\end{equation}
関数の場合
関数の積分になっている場合は、
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {a_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {b_i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \tag{2}
\end{equation}において
コーシー・シュワルツの不等式 その2 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
a_i &=& f(x_i) \, \Delta x \\
b_i &=& g(x_i) \, \Delta x \\
\Delta x &=& \frac{b -a}{n} \\
x_i &=& a + (\Delta x) \, i
\end{eqnarray}とし、の極限をとれば得ることができます。
積分について - 数式で独楽する
また、多成分の場合と同様にして示すことができます。
コーシー・シュワルツの不等式 その3 - 数式で独楽する
変数$t$の2次方程式
\begin{equation}
\int_a^b \bigl( f(x) - t \, g(x) \bigr)^2 \, dx = 0 \tag{3}
\end{equation}を考えます。
式(3)の左辺は平方の和なので、
\begin{equation}
\int_a^b \bigl( f(x) - t \, g(x) \bigr)^2 \, dx \geqq 0 \tag{4}
\end{equation}です。
したがって、式(2)は実数解を持たないか、ただ1つ持つかのいずれかです。
判別式を考えると、
\begin{equation}
D \leqq 0 \tag{5}
\end{equation}となります。
式(3)を変形すると、
\begin{equation}
\left( \int_a^b (f(x))^2 \, dx \right) -2t \left( \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right) + t^2 \left( \int_a^b (g(x))^2 \, dx \right) =0 \tag{6}
\end{equation}です。
式(6)で判別式を考えると、式(5)により、
\begin{equation}
\frac{D}{4} = \left( \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right)^2 - \left( \int_a^b (f(x))^2 \, dx \right) \left( \int_a^b (g(x))^2 \, dx \right) \leqq 0
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\left( \int_a^b (f(x))^2 dx \right) \left( \int_a^b (g(x))^2 dx \right) \geqq \left( \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right)^2 \tag{1}
\end{equation}が示されます。
なお、等号成立条件は
\begin{equation}
f(x) - t \, g(x) \equiv 0
\end{equation}です。
式(1), (2)を比較すると、関数もベクトルのように振る舞うことが窺えます。
