座標平面の中心に半径1の円*1を描いたとき、三角関数が表しているものをみていきます。
図において、
\begin{equation}
\angle \mathrm{A OP} = \theta
\end{equation}です。
また、図に現れている直角三角形は全て相似*2です。
正弦
\begin{equation}
\sin \theta = \mathrm{OB} = \mathrm{P A}
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
\sin \theta = y
\end{equation}です。
一方、
\begin{equation}
\mathrm{OB} = \mathrm{P A} = y
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\sin \theta = \mathrm{OB} = \mathrm{P A}
\end{equation}となります。
余弦
\begin{equation}
\cos \theta = \mathrm{OA} = \mathrm{PB}
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
\cos \theta = x
\end{equation}です。
一方、
\begin{equation}
\mathrm{OA} = \mathrm{PB} = x
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\cos \theta = \mathrm{OA} = \mathrm{PB}
\end{equation}となります。
正接
\begin{equation}
\tan \theta = \mathrm{PQ}
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
\tan \theta = \frac{y}{x}
\end{equation}です。
一方、△OPQ∽△OAPなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}} = \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AP}}
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
\frac{1}{x} = \frac{\mathrm{PQ}}{y}
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
\mathrm{PQ} = \frac{y}{x}
\end{equation}となります。
以上より、
\begin{equation}
\tan \theta = \mathrm{PQ}
\end{equation}が得られます。
余接
\begin{equation}
\tan \theta = \mathrm{PQ}
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
\cot \theta = \frac{x}{y}
\end{equation}です。
一方、△OPR∽△OBPなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OB}} = \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{BP}}
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
\frac{1}{y} = \frac{\mathrm{PR}}{x}
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
\mathrm{PR} = \frac{x}{y}
\end{equation}となります。
以上より、
\begin{equation}
\cot \theta = \mathrm{PR}
\end{equation}が得られます。
正割
\begin{equation}
\sec \theta = \mathrm{OQ}
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
\sec \theta =\frac{1}{x}
\end{equation}です。
一方、△OPQ∽△OAPなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OQ}}{1} = \frac{1}{x}
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
\mathrm{OQ} = \frac{1}{x}
\end{equation}となります。
以上より、
\begin{equation}
\sec \theta = \mathrm{OQ}
\end{equation}が得られます。
余割
\begin{equation}
\mathrm{cosec} \ \theta = \mathrm{OR}
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
\mathrm{cosec} \ \theta = \frac{1}{y}
\end{equation}です。
一方、△OPR∽△OBPなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OB}}
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OR}}{1} = \frac{1}{y}
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
\mathrm{OR} = \frac{1}{y}
\end{equation}となります。
以上より、
\begin{equation}
\mathrm{cosec} \ \theta = \mathrm{OR}
\end{equation}が得られます。
まとめ
以上より、三角関数の表すのは、次の線分となります。
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \mathrm{OB} = \mathrm{P A} \\
\cos \theta &=& \mathrm{OA} = \mathrm{PB} \\
\tan \theta &=& \mathrm{PQ} \\
\cot \theta &=& \mathrm{PR} \\
\sec \theta &=& \mathrm{OQ} \\
\mathrm{cosec} \ \theta &=& \mathrm{OR}
\end{eqnarray}
