京大 2006年前期 理系 第2問 別解

点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), Pとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数が存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

こういう考え方もあります。
京大 2006年前期 理系 第2問 - 数式で独楽する

解答例

線分OPとABが交わるとき、点Pは平面OAB上にあります。
平面OABの法線ベクトルは、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \vec{n} &=& v +2w &=& 0 \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \vec{n} &=& 2u +3v &=& 0
\end{eqnarray}を満たします。これより、
\begin{eqnarray}
w &=& -\frac{1}{2} \, v \\
u &=& -\frac{3}{2} \, v
\end{eqnarray}を得るので、
\begin{equation}
\vec{n} = (3,-2,1)
\end{equation}とできます。
したがって、平面OABを表す式は
\begin{equation}
3x -2y +z = 0
\end{equation}となります。

点Pが平面OAB上にあるとき、
\begin{equation}
3(5 +t) -2(9 +2t) +(5 +3t) = 0
\end{equation}を満たします。整理すると、
\begin{eqnarray}
2t &=& -2 \\
\therefore \quad t &=& -1
\end{eqnarray}を得ます。
よって、題意は証明されました。

このとき、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& (4,7,2) \\
&=& (0,1,2) +2(2,3,0) \\
&=& \overrightarrow{\mathrm{OA}} +2\overrightarrow{\mathrm{OB}}
\end{eqnarray}となります。

線分OP上の点Qは線分AB上にあるので
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\frac{2}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OP}}
\end{equation}となります。
このとき、Qの座標は
\begin{equation}
\mathrm{Q} \left( \frac{4}{3}, \, \frac{7}{3}, \, \frac{2}{3} \right)
\end{equation}です。

解説

OPとABが交わっているので、これらの4点は同一平面上にあります。このことを利用して解いています。