「メネラウスの定理」
三角形ABCについて、
BC上の点P、AC上の点Q、AB上の点Rが一直線上にあるとき、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
メネラウスの定理は、三角形と直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
知っていれば、計算が速くなることがあります。
では、証明にいきます。
補助線を引きます。
点Cを通り、辺ABに平行な直線を引き、PQとの交点をSとします。
幾何の問題は、補助線を適切に引けると見通しが立つことが多いです。
△ARQ∽△CSQより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{CS}} = \frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{QC}} \tag{1}
\end{equation}です。
また△BPR∽△CPSより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{CS}} = \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{CP}} \tag{2}
\end{equation}です。
式(1), (2)の両方にCSが出てきました。どうしましょう？
こうしましょう。
式(1)を式(2)で割ると、CSを消去できます。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} = \frac{\ \displaystyle \frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{C Q}} \ }{\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}}
\end{equation}整理すると、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}を得ることができます。
