東大 2020年 前期 理系 第6問(2/3)

以下の問いに答えよ。
(1) を実数とする。
\begin{equation}
A\sin 2 \theta + \sin (\theta + \alpha) = 0
\end{equation}

を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。

(2) 座標平面上の楕円
\begin{equation}
C: \ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1
\end{equation}

を考える。また、を満たす実数$r$に対して、不等式

\begin{equation}
2x^2 + y^2 < r^2
\end{equation}

が表す領域をとする。内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数()が存在することを示せ。また、そのようなの最大値を求めよ。

条件：

上の点Qで、Qにおけるの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。

続きです。
東大 2020年 前期 理系 第6問(1/3) - 数式で独楽する

小問(2)の見通し

小問(1), (2)は、一見すると関係なさそうに見えます。
しかし、わざわざ並べて設問を書いているところを見ると、何らかの関係があるのではないか、と考えるのが良さそうです。
では、小問(2)で変数を適切に定めれば小問(1)の形に持ち込むことができるのか？
それが問題です。
「内のすべての点」というのを上手く表現する必要があります。

小問(2)の答案

点Pを、
\begin{equation}
D_R: \quad 2x^2 + y^2 = R^2 \quad (0 < R < r < 1)
\end{equation}上の点
\begin{equation}
\mathrm{P}\, \left( \frac{R}{\sqrt{2}} \, \cos \alpha, \, R \sin \alpha \right) \tag{2.1}
\end{equation}として考えます。
をの範囲で動かすと、点Pは内の全ての点を覆うことになります。

また、上の点Qを
\begin{equation}
\mathrm{Q} \, (\sqrt{2} \cos \theta, \, \sin \theta) \tag{2.2}
\end{equation}と表すと、(2.1), (2.2)より
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \left( \sqrt{2} \cos \theta - \frac{R}{\sqrt{2}} \, \cos \alpha, \, \sin \theta - R \sin \alpha \right) \tag{2.3}
\end{equation}となります。

さて、楕円の式
\begin{equation}
\frac{x^2}{2} + y^2 = 1
\end{equation}を微分すると、
\begin{equation}
x \, dx + 2y \, dy = 0 \tag{2.4}
\end{equation}を得ます。
式(2.4)の意味するところは、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\vec{t} &=& (dx, dy) \\
\vec{n} &=& (x, 2y) \tag{2.5}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\vec{n} \cdot \vec{t} = 0
\end{equation}となり、
\begin{equation}
\vec{n} \perp \vec{t}
\end{equation}であることが分かります。
ここで、は楕円の接線の方向ベクトルであるので、は法線ベクトルということになります。

これより、点Qにおける法線ベクトルは、式(2.5)に(2.2)を代入して、
\begin{equation}
\vec{n} = (\sqrt{2} \cos \theta, \, 2\sin \theta) \tag{2.6}
\end{equation}となります。

直線PQと点Qにおけるの接線が直交するということは、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \parallel \vec{n}
\end{equation}であるということです。式(2.3), (2.6)より、
\begin{equation}
2 \sin \theta \left( \sqrt{2} \cos \theta - \frac{R}{\sqrt{2}} \right) - \sqrt{2} \cos \theta ( \cos \alpha, \, \sin \theta - R \sin \alpha) = 0
\end{equation}が成り立ちます。式を変形していきます。
\begin{equation}
\sqrt{2} \sin \theta \, \cos \theta - \sqrt{2}\, R \, \sin \theta \, \cos \alpha + \sqrt{2} \, R \, \cos \theta \, \sin \alpha = 0
\end{equation}三角関数の倍角の公式
倍角の公式 - 数式で独楽する
と加法定理
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
を用いて、
\begin{equation}
\frac{1}{2R} \, \sin 2\theta - \sin (\theta - \alpha) = 0 \tag{2.7}
\end{equation}を得ます。
式(2.7)がで少なくとも4個の解を持てば、小問で提示された条件を満たすことになります。

ここで小問(1)で証明した

のとき、
\begin{equation}
A \sin 2\theta - \sin(\theta - \alpha) = 0 \tag{1.1'}
\end{equation}はで少なくとも4個の解を持つ

ことを用います。なお、小問(1)のをに置き換えています。

式(2.7)と(1.1')を比較すると、式(2.7)がで少なくとも4個の解を持つための条件は、
\begin{equation}
\frac{1}{2R} > 1
\end{equation}つまり
\begin{equation}
R < \frac{1}{2}
\end{equation}となります。

これより、
\begin{equation}
r < \frac{1}{2}
\end{equation}であれば、条件は満たすことが分かります。

さらに続きます。
東大 2020年 前期 理系 第6問(3/3) - 数式で独楽する