「チェバの定理」
三角形ABCについて、
BC上に点P、AC上に点Q、AB上に点Rを定め、
AP, BQ, CRが1点Oで交わるとき、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
チェバの定理は、三角形と3つの頂点を通る直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
証明は、いくつかあります。
本稿では、メネラウスの定理を2回使います。
まず、△ABPと直線CRに着目します。
メネラウスの定理により、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}}\frac{\mathrm{PO}}{\mathrm{O A}} =1 \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。
次に、△ACPと直線BQに着目します。
再びメネラウスの定理により、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}} \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BP}}\frac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OA}} =1 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。
式(1)を式(2)で割ると、POとOAを消去できます。
\begin{equation}
\frac{\ \displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}} \ }{\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}} \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BP}}} = 1
\end{equation}
もう少し整理すると、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}を得ることができます。
