「メネラウスの定理」
三角形ABCについて、
BC上の点P、AC上の点Q、AB上の点Rが一直線上にあるとき、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
メネラウスの定理は、三角形と直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
知っていれば、計算が速くなることがあります。
では、証明にいきます。
メネラウスの定理 - 数式で独楽する
とは異なる補助線を引きます。
点Cを通り、PQに平行な直線を引き、ABとの交点をSとします。
△ARQ∽△ACSより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} = \frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{AR}} \tag{1}
\end{equation}です。
また△BPR∽△BCSより、
\begin{equation}\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} = \frac{\mathrm{RB}}{\mathrm{RS}} \tag{2}
\end{equation}です。
式(1), (2)を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &=& \frac{\mathrm{RB}}{\mathrm{RS}} \frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{AR}} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
を得ることができます。
式の変形は、こちらの方がすっきりしています。
