濃縮問題

容積がVの容器いっぱいに濃度がCの溶液が入っている。
この容器に流量Qで濃度がの液体を注入し、同じ流量で排出する系を考える。

時刻t=0の時の濃度をとするとき、

• 時刻tの濃度を求めよ。
• 濃度をとする場合の注入量を求めよ。

文章題ですが、落ち着いて考えていきましょう。
図にするとこんな感じです。

系の溶質*1の量の時間的変化を考えます。
まず、濃度の時間的変化はなので、溶質の量の時間的変化は
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} \tag{1}
\end{equation}です。
次に、溶質の収支を考えます。
単位時間に系に入る溶質の量はです。
単位時間に系から出て行く溶質の量はです。
よって単位時間における溶質の収支は
\begin{equation}
Q(C_0 -C)\tag{2}
\end{equation}です。
式(1)と式(2)は同じものであるので、
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} = Q(C_0 -C) \tag{3}
\end{equation}となります。

式(3)を解くと、一般解は
\begin{equation}
C = C_0 +A\ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \quad (A: 任意定数) \tag{4}
\end{equation}となります。解き方は
変数分離形の例 その4 - 数式で独楽する
濃縮問題の補足 その1 - 数式で独楽する
濃縮問題の補足 その2 - 数式で独楽する
濃縮問題の補足 その3 - 数式で独楽する
濃縮問題の補足 その4 - 数式で独楽する
を参照ください。

時刻t=0の時、濃度はなので、式(4)は
\begin{equation}
C_\mathrm{i} = C_0 + A
\end{equation}となります。これより、任意定数は
\begin{equation}
A = C_\mathrm{i} - C_0
\end{equation}となります。
これを式(4)に戻して、時刻tの系の濃度は、
\begin{equation}
C = C_0 - (C_0 - C_\mathrm{i}) \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \tag{5}
\end{equation}と求められます。

系の溶質の濃度がとなる時、式(4)より、
\begin{eqnarray}
C_\mathrm{f} &=& C_0 - (C_0 - C_\mathrm{i}) \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \\
\frac{C_0 - C_\mathrm{i}}{C_0 - C_\mathrm{f}} &=& e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} \\
\log \frac{C_0 - C_\mathrm{i}}{C_0 - C_\mathrm{f}} &=& \frac{Q}{V}\ t
\end{eqnarray}
となります。求める注入量Qtは、
\begin{equation}
Qt = V \log \frac{C_0 - C_\mathrm{i}}{C_0 - C_\mathrm{f}}
\end{equation}となります。

まとめると、次の通りです。

• 時刻tの濃度

\begin{equation}
C = C_0 - (C_0 - C_\mathrm{i}) \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}

• 濃度をとする場合の注入量

\begin{equation}
Qt = V \log \frac{C_0 - C_\mathrm{i}}{C_0 - C_\mathrm{f}}
\end{equation}

*1:「溶媒」は溶質を溶かす液体、食塩水で言うと水に相当します。 「溶質」は溶媒に溶かされる物質、食塩水で言うと食塩に相当します。 「溶液」は溶質を溶媒に溶かしてできる液体です。食塩水で言うと食塩水そのものです。