平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1:1に内分する点をE、辺BCを2:1に内分する点をF、辺CDを3:1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比AP:PQを求めよ。
とすると、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BE}} &=& \frac{1}{2} \, \vec{a} \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{BF}} &=& \frac{2}{3} \, \vec{c} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{BG}} &=& \frac{3}{4} \, \vec{a} + \vec{c} \tag{3}
\end{eqnarray}と表すことができます。
また、CEとFGの交点は、を用いて、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& (1 - s) \overrightarrow{\mathrm{BE}} + s \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \tag{4} \\
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& (1 - t) \overrightarrow{\mathrm{BF}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{BG}} \tag{5}
\end{eqnarray}と、2通りに表すことができます。
式(1)~(5)より、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& \frac{1}{2} (1 -s) \, \vec{a} + s \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& \frac{2}{3} (1 -t) \, \vec{c} + t \left( \frac{3}{4} \, \vec{a} + \vec{c} \right) \\
&=& \frac{3}{4} \, t \, \vec{a} + \left( \frac{1}{3} \, t + \frac{2}{3} \right) \, \vec{c}
\end{eqnarray}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} (1 -s) &=& \frac{3}{4} \, t \\
s &=& \frac{1}{3} \, t + \frac{2}{3}
\end{eqnarray}すなわち
\begin{eqnarray}
2s + 3t &=& 2 \\
3s -t &=& 2
\end{eqnarray}という連立方程式を得ます。
この連立方程式を解くと
\begin{equation}
s = \frac{8}{11}, \ t = \frac{2}{11}
\end{equation}となり、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} = \frac{3}{22} \, \vec{a} + \frac{8}{11} \, \vec{c} \tag{6}
\end{equation}を得ます。
点Pを通り辺BCに平行な直線を引き、辺ABとの交点をRとすると、△ABQ∽△ARPなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}} = \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}} = \cfrac{\left( 1 - \cfrac{3}{22} \right) \mathrm{AB}}{\mathrm{AB}} = \frac{19}{22}
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PQ}} = \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ - AP}} = \cfrac{\cfrac{19}{22}}{1 - \cfrac{19}{22}} = \frac{19}{3}
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\mathrm{AP:PQ} = 19:3
\end{equation}を得ます。
解説
点Pは直線CE上にあるので式(4)が、また直線FG上にあるので式(5)がそれぞれ成り立ちます。同じ点が異なる式で表すことができることを利用して解いていくことになります。
ちなみに、式(6)は
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& \frac{3}{22} \, \vec{a} + \frac{8}{11} \, \vec{c} \\
&=& \frac{3}{22} \, \vec{a} + \frac{19}{22} \left( \frac{16}{19} \, \vec{c} \right) \\
&=& \frac{3}{22} \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} + \frac{19}{22} \, \overrightarrow{\mathrm{BQ}}
\end{eqnarray}で表現でき、AP:PQ=19:3であることが分かります。
