四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。
(1) 辺ABと線分PQは垂直であることを示せ。
(2) 線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。
続きです。
小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
平面αが、辺AD上の点Rを通るものとします。(*)
なお、平面αが
- 辺ACを通る場合、以下の文章でCとDを入れ替える。
- 辺BDを通る場合、AとBを入れ替える。
- 辺BCを通る場合、AとB、CとDをそれぞれ入れ替える。
とすればよく、上記(*)の仮定をしても一般性を失いません。
平面PQRは平面αそのものであり、
- RQは直線で、辺ACの延長との交点をT、
- PTは直線で、辺BCとの交点をS
とします。さらに、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AR}} &=& r \, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \\
\overrightarrow{\mathrm{BS}} &=& s \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \\
\overrightarrow{\mathrm{AT}} &=& t \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
\end{eqnarray}とします。
(i) 0 < r < 1/2, 1/2 < r <1の場合
メネラウスの定理
メネラウスの定理 まとめ - 数式で独楽する
により、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{D Q}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CT}}{\mathrm{TA}}
&=& \frac{r}{1 -r} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{t -1}{t} &=& 1 \tag{2.1} \\
\frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{TC}} \cdot \frac{\mathrm{CS}}{\mathrm{SB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{P A}}
&=& \frac{t}{t -1} \cdot \frac{s -1}{s} \cdot \frac{1}{1} &=& 1 \tag{2.2}
\end{eqnarray}が成り立っています。
式(2.1)より、
\begin{eqnarray}
\frac{t -1}{t} &=& \frac{1 -r}{r} \\
\therefore \quad 1 - \frac{1}{t} &=& \frac{1}{r} -1 \tag{2.3}
\end{eqnarray}を、同様に式(2.2)より
\begin{equation}
1-\frac{1}{t} = \frac{1}{s} -1 \tag{2.4}
\end{equation}を得ます。
式(2.3)より
\begin{eqnarray}
\frac{1}{r} + \frac{1}{t} &=& 2 \\
\therefore \quad 2rt &=& r + t \tag{2.5}
\end{eqnarray}となります。
また、式(2.3), (2.4)より、
\begin{equation}
s = r \tag{2.6}
\end{equation}となります。
さて、四面体APRT, CQSTの体積は、
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{APRT}} &=& \frac{1}{2} \, r|t| \, V_{\mathrm{ABCD}} \\
V _{\mathrm{CQST}} &=& \frac{1}{2}(1 -r)|t -1| \, V_{\mathrm{ABCD}}
\end{eqnarray}なので、求める体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& \left| V_{\mathrm{APRT}} - V_{\mathrm{CQST}} \right| \tag{2.7} \\
&=& \frac{1}{2} \bigl| r|t| - (1 -r)|t -1| \bigr| \, V_{\mathrm{ABCD}} \\
&=& \frac{1}{2} \, |2 +rt +1 -r -t| \, V_{\mathrm{ABCD}} \\
&=& \frac{1}{2} \, V_{\mathrm{ABCD}} \quad (\because \mbox{式}(2.5))
\end{eqnarray}となります。
小問(2)、(i)の場合の解説
平面αが四面体ABCDのどこを通るのかを把握する必要があります。
辺ABの中点Pと辺CDの中点Qを必ず通るので、このことを手掛かりにどのように分割されるかを探ることが可能です。
三角形PQRは平面αの一部であり、
- 直線RQと直線ACとの交点T
- 直線PTと辺BCとの交点S
も平面α上にあります。
このことを踏まえて、メネラウスの定理を使って断面がどうなるかを求めています。
この過程で新たな四面体ができますが、元の四面体ABCDからはみ出た四面体を除けば、求める立体の体積を求めることができます。
なお、冒頭の図はの場合で、はみ出す四面体がAPRT、はみ出た四面体がCQSTです。
の場合の位置関係は次のようになります。
はみ出す方とはみ出た方が逆になります。
