3組の対辺が互いに垂直であるような四面体$V$がある。このとき$V$の各辺の中点は、$V$の重心を中心とするある1つの球面上にあることを示せ。
方針
問題文が簡潔に書かれています。
「各辺の中点が同一球面上にある」ことを示せ、とあります。
座標空間内に四面体を置いてもできそうですが、各頂点を一般性を失わずに置くと変数が多くなります。
ここでは、ベクトルを用いて球を表現する
\begin{equation}
|\vec{x} - \vec{x}_0| = r \quad (\mbox{constant})
\end{equation}を目指します。
解答例
四面体$V$の各頂点をO, A, B, Cとし、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。
各辺の中点は、
\begin{equation}
\frac{\vec{a}}{2}, \quad \frac{\vec{b}}{2}, \quad \frac{\vec{c}}{2}, \quad \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}, \quad \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} , \quad \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}
\end{equation}と表すことができます。
重心は、
\begin{equation}
\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}
\end{equation}です。
3組の対辺が互いに垂直なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} = \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) &=& 0 \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) &=& 0 \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}} = \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) &=& 0 \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
さらに式(1)~(3)より、ベクトルの内積は定数$k$を用いて
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = k \tag{4}
\end{equation}となります。
式(1)~(4)を用いると、各中点と重心の距離は、
\begin{eqnarray}
\left| \frac{\vec{a}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} \right|^2
&=& \frac{1}{16} |\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}|^2 \\
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{b}|^2 + 2\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) + |\vec{c} - \vec{a}|^2 \right) \\
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{b}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 \right)
= \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2 - 2k \right) \\
\left| \frac{\vec{b}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} \right|^2
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{c}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 \right)
= \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2 - 2k \right) \\
\left| \frac{\vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} \right|^2
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b} - \vec{c}|^2 \right)
= \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2 - 2k \right) \\
\left| \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} \right|^2
&=& \frac{1}{16} |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 \\
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b} - \vec{c}|^2 \right)
= \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2 - 2k \right) \\
\left| \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} \right|^2
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{b}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 \right)
= \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2 - 2k \right) \\
\left| \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} \right|^2
&=& \frac{1}{16} \left( |\vec{c}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 \right)
= \frac{1}{16} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2+ |\vec{c}|^2 - 2k \right)
\end{eqnarray}となります。
いずれの中点も、重心との距離が等しくなります。
ゆえに、各辺の中点は、$V$の重心を中心とする1つの球面上にあることが示されました。(証明終わり)
