微分について - 数式で独楽する

本稿では、微分について述べていくことにします。

微分とは、

ある変数によってある値が変化する関係にある、すなわちある値がある変数の関数になっている場合に、
変数をごく僅かに変化させたときに値はどのように変化するのか

をみていくということです。

数式を使って記述していきます。

値 $y$ は変数 $x$ と関数 $f$ を用いて
\begin{equation}
y=f(x) \tag{1}
\end{equation}と表されるものとします。

変数 $x$ を $\Delta x$ だけ変化させたときの値 $y$ の変化量を $\Delta y$ とすると、
\begin{equation}
y + \Delta y = f(x + \Delta x) \tag{2}
\end{equation}と表されます。

式(1), (2)より、 $\Delta y$ は、
\begin{equation}
\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)
\end{equation}と書くことができます。

したがって、変化の割合は
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \tag{3}
\end{equation}となります。

ここで $\Delta x$ を限りなく0に近付けます。極限が存在すれば、 $x$ での変化の割合を求めることができます。
これを、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{equation}で表します。
これが、微分ということです。
表記は他に、
\begin{equation}
y', \qquad \dot{y}, \qquad f'(x), \qquad \frac{d}{dx} f(x)
\end{equation}などがあります。
これらは、元の関数の「導関数」ともいいます。

さて、この話、図で表すと、こういうことです。
曲線 $y=f(x)$ 上に点P, Qがあります。両者の $x$ 座標は $\Delta x$ だけ離れています。
2点P, Qを結んだ直線の傾きが $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$ です。
$\Delta x$ を限りなく0に近付けるとということは、Qを限りなくPに近付けるということです。
直線PQは点Pにおける曲線 $y=f(x)$ の接線に近付いていきます。
この接線の傾きが、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}
\end{equation}となります。