2変数が分離できる形の二重積分は
\begin{equation}
\iint_S f(x)g(y)\, dx \, dy = \int_{x_\mathrm{i}}^{x_\mathrm{f}} f(x)dx \int_{y_\mathrm{i}}^{y_\mathrm{f}} g(y)dy \tag{1}
\end{equation}となります。
なお、
\begin{equation}
S = \{ (x, y)| x \in [x_\mathrm{i}, x_\mathrm{f}], \, y \in [y_\mathrm{i}, y_\mathrm{f}] \}
\end{equation}です。
変数が無関係の場合、変数
による積分において変数
は定数として扱われます。
変数による積分において変数
は定数として扱われます。
ということで、式(1)が成り立ちます。
もう少し立ち入ります。
以下、数学的に厳密さを欠く点があるかと思いますが、お付き合いください。
区間]を
等分、区間
]を
等分し、
\begin{eqnarray}
x_\mathrm{i} &=& x_0 < x_1 < \cdots < x_m &=& x_\mathrm{f} \\
y_\mathrm{i} &=& y_0 < y_1 < \cdots < y_m &=& y_\mathrm{f}
\end{eqnarray}とします。なお、
\begin{eqnarray}
\Delta x &=& \frac{x_\mathrm{f} - x_\mathrm{i}}{m} \\
\Delta y &=& \frac{y_\mathrm{f} - y_\mathrm{i}}{n}
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{eqnarray}
a_i &=& f(x_{i-1})\, \Delta x \quad (i = 1, 2, \cdots , m) \\
b_j &=& g(y_{j-1})\, \Delta y \quad (j = 1, 2, \cdots , n)
\end{eqnarray}とします。
分割数を限りなく大きくすれば、積分の値が得られます。
つまり、
\begin{eqnarray}
\iint_S f(x)g(y)\, dx \, dy &=& \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j \\
\int_{x_\mathrm{i}}^{x_\mathrm{f}} f(x)dx &=& \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m a_i \\
\int_{y_\mathrm{i}}^{y_\mathrm{f}} g(y)dy &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n b_j
\end{eqnarray}です。
これで、式(1)は
\begin{equation}
\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j = \left( \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m a_i \right) \left( \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n b_j \right)
\end{equation}となります。
和の記号が重い形ですが、極限記号の中は
\begin{equation}
a_1 b_1 + \cdots + a_m b_n = (a_1 + \cdots + a_m)(b_1 + \cdots + b_n)
\end{equation}です。この関係は常に成り立ちます。*1
よって、式(1)が成り立ちます。
*1:分配公式です。分割数がの場合、
\begin{equation}
a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_2 + a_1 b_2 = (a_1 + a_2)(b_1 + b_2)
\end{equation}です。
