積分について - 数式で独楽する

本稿では、積分について述べていくことにします。

積分とは、

ある変数によってある値が変化する関係にある、すなわちある値がある変数の関数になっている場合に、
変数をごく僅かに変化させて値を積み重ねていくと、
どのようなものになっていくのか

をみていくということです。

過去における一瞬、一瞬の積み重ねが、現在の世界を形作っている
ようなものでしょうか。
こんなことを書いていると、「こいつ何言ってんだ」と後ろ指を差されそうです。

例えば、
速度が時間に対して一定でない物体の運動においても、
時間を追っていくと物体の移動量を求めることができる
ということでもあります。

さて。
数式を使って記述していきます。

値 $y$ は変数 $x$ と関数 $f$ を用いて
\begin{equation}
y=f(x) \tag{1}
\end{equation}と表されるものとします。
領域 $R$ で $f(x)$ を積み上げて得られるものを評価します。

領域 $R$ 内の点 $x=x_i$ 周りの微小領域 $\Delta x_i$ における $y=f(x)$ による積み上げ量 $\Delta Y_i$ は、
\begin{equation}
\Delta Y_i = f(x_i) \Delta x_i \tag{2}
\end{equation}です。

領域 $R$ で和を取ります。
\begin{equation}
\sum_i \Delta Y_i = \sum_i f(x_i) \Delta x_i
\end{equation}となります。

領域 $R$ の分割数 $n$ を用いて書くと、
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \Delta Y_i = \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \tag{3}
\end{equation}です。

分割数を $n \to \infty$ とします。
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \Delta Y_i = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \tag{4}
\end{equation}となります。

このとき、
\begin{equation}
\Delta x_i \to 0, \qquad \Delta Y_i \to 0
\end{equation}となります。

また、式(4)を、
\begin{equation}
\int_R dY = \int_R f(x)dx \tag{5}
\end{equation}と記述します。

記号の対応は次の通りです。
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n & \to & \int_R \\
\Delta Y_i & \to & dY \\
\Delta x_i & \to & dx
\end{eqnarray}
記号の意味を理解していけば、怖れることはありません。

式(5)の左辺は、 $f(x)$ を領域 $R$ で積み上げて得た量 $Y$ そのものです。
\begin{equation}
Y = \int_R \, dY
\end{equation}

なお、式(2)を
\begin{equation}
\frac{\Delta Y_i}{\Delta x_i} = f(x_i)
\end{equation}と書くと、 $n \to \infty$ で
\begin{equation}
\frac{dY}{dx} = f(x) \tag{6}
\end{equation}となります。
式(6)は、 $Y$ を $x$ で微分すると $f(x)$ となる、ということです。

ここまでの話を図で表すとこういう感じです。
式(3)の様子が、図で表されています。
分割を細かくしていくと、式(5)となります。
図では、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸に挟まれた領域の面積として現れています。
領域 $R$ は図では $a \leq x \leq b$ となっています。
この場合、
\begin{equation}
\int_R f(x)dx = \int_a^b f(x) \, dx
\end{equation}と記述します。