高校の教科書では、主要な関数の微分すなわち導関数を求め、その逆の演算として積分すなわち原始関数を求めます。
本稿では、その逆ができないか、考えてみます。
手掛かりは、
定積分 - 数式で独楽する
です。
定積分
\begin{equation}
\int_0^x f(t)dt = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta t \tag{1}
\end{equation}を幾つかの関数について求めてみます。
なお、
\begin{equation}
t_k = \frac{k}{n}x, \quad \Delta t = \frac{x}{n} \tag{2}
\end{equation}です。
前回の記事はこちら
微分を前提としない積分の定式化2 - 数式で独楽する
4次関数
\begin{equation}
f(t) = t^4
\end{equation}の場合を考えます。
式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^x f(t)dt &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n}x \right)^4 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^4} \left( \sum_{k=1}^n k^4 \right) x^4 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^4} \left( \frac{1}{30}n(n +1)(2n +1)(3n^2 +3n -1) \right) x^4 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{30} \frac{n(n +1)(2n +1)(3n^2 +3n -1)}{n^5} x^5 \\
&=& \frac{1}{5} x^5
\end{eqnarray}
となります。
途中、kと無関係の部分を和の記号の外に出しています。
さらに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{1}{30} n(n +1)(2n +1)(3n^2 +3n -1)
\end{equation}を用いています。
自然数の4乗の和 - 数式で独楽する
自然数のべき乗の和が、かなり面倒になってきました。
5次関数
\begin{equation}
f(t) = t^5
\end{equation}の場合を考えます。
式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^x f(t)dt &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n}x \right)^5 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left( \sum_{k=1}^n k^5 \right) x^5 \cdot \frac{x}{n}
\end{eqnarray}
ですが、べき乗の和を求めていくのはもはや苦痛です。
三角関数
式(1), (2)を用いて計算すると、例えば、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \sin \frac{kx}{n} \right) \frac{x}{n}
\end{equation}を求める必要があります。
指数関数
式(1), (2)を用いて計算すると、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n e^{\displaystyle \scriptsize \frac{kx}{n}} \cdot \frac{x}{n}
= \lim_{n\to \infty} \frac{e^{\displaystyle \scriptsize \frac{x}{n}} (e^x -1)}{e^{\displaystyle \scriptsize \frac{x}{n}} -1}
\end{equation}を求める必要があります。
なので、この辺りで積分からの定式化を放棄します。
