平均値の定理

平均値の定理
(ラグランジュ(Lagrange)の平均値の定理)
関数が区間で連続、区間で微分可能ならば、
\begin{equation}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)
\end{equation}を満たすが存在する。

では、証明にいきます。
関数を
\begin{equation}
g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a)
\end{equation}と定めると、
\begin{equation}
g(a) = g(b) = f(a)
\end{equation}が成り立ちます。
したがって、ロルの定理により、
\begin{equation}
g'(c) = 0
\end{equation}を満たすが存在します。
ロルの定理 - 数式で独楽する

一方、
\begin{equation}
g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\end{equation}であるので、とすると、
\begin{equation}
0 = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\end{equation}となります。

すなわち、
\begin{equation}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)
\end{equation}を満たすが存在することが示されます。