自然数の4乗の和 - 数式で独楽する

自然数の4乗の和
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{1}{30} n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\end{equation}

自然数のべき乗の和ですが、
1乗自然数の和その3 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1) \tag{1}
\end{equation}

2乗自然数の2乗の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) \tag{2}
\end{equation}

3乗自然数の和の2乗と自然数の3乗の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{1}{2} n(n+1) \right) ^2 \tag{3}
\end{equation}

と比べ、形が煩雑になってきました。
とは言うものの、これまでと同様にしていけば、求めることができます。

まず、この式をご覧ください。
\begin{equation}
k^5 - (k - 1)^5 = 5k^4 - 10k^3 + 10k^2 -5k +1 \tag{4}
\end{equation}
この式(4)は恒等式になっています。

式(4)において
\begin{equation}
k = 1,2, \cdots , n
\end{equation}とし、辺々相加えると、次のようになります。
\begin{equation}
n^5 = 5\sum_{k=1}^n k^4 - 10\sum_{k=1}^n k^3 + 10\sum_{k=1}^n k^2 -5 \sum_{k=1}^n k +n \tag{5}
\end{equation}
式(5)に式(1)~(3)を代入すると、 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4$ を求めることができます。

では、いきましょう。
\begin{equation}
n^5 = 5\sum_{k=1}^n k^4 - \frac{5}{2} n^2 (n+1)^2 +\frac{5}{3} n(n+1)(2n+1) - \frac{5}{2} n(n+1) + n \tag{6}
\end{equation}ここから、ゴリゴリと計算していけば求められます。ところで、
\begin{eqnarray}
n^5 - n &=& n(n^4 - 1) \\
&=& n(n^2 - 1)(n^2 + 1) \\
&=& n(n+1)(n-1)(n^2+1)
\end{eqnarray}
なので、 $n(n+1)$ で括り出せば、計算が少し楽になりそうです。

式(6)の変形を続けます。
\begin{eqnarray}
5\sum_{k=1}^n k^4 &=& n(n+1)(n-1)(n^2+1) + \frac{5}{2} n^2 (n+1)^2 -\frac{5}{3} n(n+1)(2n+1) + \frac{5}{2} n(n+1) \\
&=& n(n+1) \left( n^3-n^2+n-1 + \frac{5}{2} (n^2+n) - \frac{5}{3} (2n+1) + \frac{5}{2} \right) \\
&=& \frac{1}{6} n(n+1)(6n^3 + 9n^2 + n - 1) \\
&=& \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)
\end{eqnarray}
となります。*1
したがって、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{1}{30} n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\end{equation}が得られます。

*1:最後の式変形について。 \begin{equation} P(n) = 6n^3 + 9n^2 + n - 1 \end{equation}とすると、 \begin{equation} P \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{6}{8} +\frac{9}{4} -\frac{1}{2} -1 =0 \end{equation}なので、 $P(n)$ は $2n+1$ を因数に持ちます(因数定理)。 $P(n)$ の $2n+1$ での割り算を筆算でやってみます。 \begin{equation} \begin{array}{r} \\ 2n+1 \ ) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{rrrr} 3n^2 & +3n \ \ & -\ \ 1 & \\ \hline 6n^3 & +9n^2 & +\ \ n & -1 \\ 6n^3 & +3n^2 && \\ \hline & 6n^2 & +\ \ n & \\ & 6n^2 & +3n & \\ \hline && -2n & -1 \\ && -2n & -1 \\ \hline &&& 0 \end{array} \end{equation} よって、 \begin{equation} P(n) = (2n+1)(3n^2 +3n -1) \end{equation}となります。