京大2016年理系第6問 - 数式で独楽する

複素数を係数とする2次式 $f(x) = x^2 +ax +b$ に対し、次の条件を考える。
(イ) $f(x^3)$ は $f(x)$ で割り切れる。
(ロ) $f(x)$ の係数$a,b$の少なくとも一方は虚数である。
この2つの条件(イ)、(ロ)を同時に満たす2次式をすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
f(x) = (x -\alpha)(x -\beta)
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\alpha +\beta &=& -a \\
\alpha \beta &=& b
\end{eqnarray}が成り立ちます。
解と係数の関係 - 数式で独楽する

この $\alpha, \beta$ を用いると、条件(イ)は因数定理により
\begin{equation}
f(\alpha^3) = 0 \ \mbox{かつ} \ f(\beta^3) =0
\end{equation}と書き換えることができます。
剰余の定理と因数定理 - 数式で独楽する

\begin{eqnarray}
f(\alpha^3) &=& \alpha^6 -(\alpha +\beta) \alpha^3 +\alpha \beta \\
&=& \alpha^6 -\alpha^4 -\alpha^3 \beta +\alpha \beta \\
&=& \alpha^4 (\alpha^2 -1) -\alpha \beta (\alpha^2 -1) \\
&=& \alpha (\alpha +1)(\alpha -1)(\alpha^3 -\beta)
\end{eqnarray}同様に
\begin{equation}
f(\beta^3) = \beta (\beta +1)(\beta -1)(\beta^3 -\alpha)
\end{equation}と変形できるので、条件(イ)は、

$\alpha=0, \ \alpha=1, \ \alpha=-1, \ \alpha^3=\beta$ のいずれか
かつ
$\beta=0, \ \beta=1, \ \beta=-1, \ \beta^3=\alpha$ のいずれか
と書き換えられます。

これより、条件(ロ)を踏まえて場合分けをしていきます。

i. $\alpha=0$ の場合

$\beta^3=\alpha=0$ となるので不適です。

ii. $\alpha=1$ の場合

$\beta^3=\alpha=1$ なので
\begin{equation}
\beta = \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2}
\end{equation}です。*1

iii. $\alpha=-1$ の場合

$\beta^3=\alpha=-1$ なので
\begin{equation}
\beta = \frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2}
\end{equation}です。*2

iv. $\alpha^3=\beta$ の場合

$\beta$ の条件で分けていきます。
(i) $\beta=0$ の場合、 $\alpha=0$ となり、不適です。
(ii) $\beta=1$ の場合、 $\alpha=\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2}$ です。*3
(iii) $\beta=-1$ の場合、 $\alpha=\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2}$ です。*4
(iv) $\beta^3=\alpha$ の場合

\begin{equation}
\alpha^9 = \alpha
\end{equation}ですが、 $\alpha \ne 0$ なので
\begin{equation}
\alpha^8 = 1
\end{equation}となります。
さらに $\alpha \ne \pm 1$ なので
\begin{eqnarray}
(\alpha, \beta) &=& (e^{n \pi i/4}, e^{3n \pi/4}) \quad (n= \pm 1, \pm 2, \pm 3) \\
&=& \left( \frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}, \frac{-1 \pm i}{\sqrt{2}} \right), \ (\pm i, \mp i), \ \left( \frac{-1 \pm i}{\sqrt{2}}, \frac{1 \pm i}{\sqrt{2}} \right)
\end{eqnarray}となります。複号はそれぞれの $(\alpha, \beta)$ の組において同順です。
オイラーの公式の証明 - 数式で独楽する

この時点で条件(ロ)を満たしているものを整理すると、次のようになります。複号は同じ行において同順です。
\begin{array}{|c|cc|cc|c|c|}
\hline
\mbox{No.} & \alpha & \beta & a & b & 判定 & 備考 \\ \hline
1 & 1 & \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & -\frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \mbox{OK} \\ \hline
2 & -1 & \frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \frac{1 \mp \sqrt{3} \, i}{2} & -\frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \mbox{OK} \\ \hline
3 & \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & 1 & -\frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \frac{-1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \mbox{OK} & 1と重複 \\ \hline
4 & \frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & -1 & \frac{1 \mp \sqrt{3} \, i}{2} & -\frac{1 \pm \sqrt{3} \, i}{2} & \mbox{OK} & 2と重複 \\ \hline
5 & \frac{1 \pm i}{\sqrt{2}} & \frac{-1 \pm i}{\sqrt{2}} & \pm \sqrt{2} \, i & -1 & \mbox{OK} \\ \hline
6 & \pm i & \mp i & 0 & 1 & \mbox{NG} \\ \hline
7 & \frac{-1 \pm i}{\sqrt{2}} & \frac{1 \pm i}{\sqrt{2}} & \pm \sqrt{2} \, i & -1 & \mbox{OK} & 5と重複 \\ \hline
\end{array}

以上をまとめると、条件を満たす2次式は、
\begin{eqnarray}
&& x^2 -\frac{1 + \sqrt{3} \, i}{2} \, x -\frac{1 - \sqrt{3} \, i}{2}, \\
&& x^2 -\frac{1 - \sqrt{3} \, i}{2} \, x -\frac{1 + \sqrt{3} \, i}{2}, \\
&& x^2 +\frac{1 - \sqrt{3} \, i}{2} \, x -\frac{1 + \sqrt{3} \, i}{2}, \\
&& x^2 +\frac{1 + \sqrt{3} \, i}{2} \, x -\frac{1 - \sqrt{3} \, i}{2}, \\
&& x^2 +\sqrt{2} \, i \, x -1, \\
&& x^2 -\sqrt{2} \, i \, x -1
\end{eqnarray}となります。

解説

「 $f(x^3)$ は $f(x)$ で割り切れる」の表現をどう処理するかが悩ましい問題です。
「6次式が2次式で割り切れる」という表現がややこしく、因数定理を用いて攻略しています。
因数定理を用いると条件(イ)を咀嚼できます。その先はもれなくダブりなく*5場合分けすれば、処理量は多いですが処理できます。

*1:\begin{equation} \omega = \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2} \end{equation}とすると \begin{equation} \beta = \omega, \omega^2 \end{equation}です。

*2:同じく \begin{equation} \beta = -\omega, -\omega^2 \end{equation}です。

*3:i項と同じです。

*4:ii項と同じです。

*5:Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive（相互に排他的で、ともに網羅的）で「MECE」といいます。