京大 2007年理系第6問その1 - 数式で独楽する

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 $f(x)$ が $f(0)=0, \ f'(0)=1$ を満たし、さらに任意の実数 $a,b$ に対して $1 +f(a)f(b) \ne 0$ であって
\begin{equation}
f(a +b) = \frac{f(a) +f(b)}{1 +f(a)f(b)}
\end{equation}を満たしている。
(1) 任意の実数 $a$ に対して $-1 < f(a) < 1$ であることを証明せよ。
(2) $y = f(x)$ のグラフは $x > 0$ で上に凸であることを証明せよ。

小問(1)の解答例

小問(1)の解答例

\begin{equation}
f(a +b) = \frac{f(a) +f(b)}{1 +f(a)f(b)}
\end{equation}について、 $a$ を変数、 $b$ を定数と見て、両辺を $a$ で微分します。
\begin{eqnarray}
f'(a +b) &=& \frac{f'(a) \{ 1 +f(a)f(b) \} -\{ f(a) +f(b) \} f'(a)f(b)}{\{ 1 +f(a)f(b) \}^2} \\
&=& \frac{f'(a) \left[1 -\{ f(b) \}^2 \right]}{\{1 +f(a)f(b) \}^2}
\end{eqnarray}ここで $a =0$ とすると、
\begin{equation}
f'(b) = 1 -\{ f(b) \}^2
\end{equation}を得ます。
$b$ を $x$ と書き換え、 $y = f(x)$ とすると、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = 1 -y^2 \tag{1}
\end{equation}となります。
変形します。
微分方程式を解く~変数分離形 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\int \frac{dy}{1 -y^2} = \int dx \tag{2}
\end{equation}式(2)の左辺は
\begin{eqnarray}
\int \frac{dy}{1 -y^2} &=& \int \frac{dy}{(1 -y)(1 +y)} \\
&=& \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 -y} +\frac{1}{1 +y} \right) \, dy \\
&=& \frac{1}{2} \, \left( -\log |1 -y| +\log |1 +y| \right) -C \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \left| \frac{1 +y}{1 -y} \right| -C
\end{eqnarray}となります。 $C$ は積分定数です。
式(2)の右辺と合わせ、式(1)を満たす関数は
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, \log \left| \frac{1 +y}{1 -y} \right| = x +C
\end{equation}を満たします。
$x = 0$ のとき $y = 0$ なので、 $C = 0$ です。
したがって、
\begin{equation}
\frac{1 +y}{1 -y} = \pm e^{2x}
\end{equation}となります。