平均値の定理
\begin{equation}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad (a < c < b) \tag{1}
\end{equation}には、次のような表現があります。
\begin{eqnarray}
f(b) &=& f(a) + (b - a)f'(c) & \quad (a < c < b) \tag{2} \\
f(b) &=& f(a) + (b - a)f'(a + \theta (b - a)) & \quad (0 < \theta < 1) \tag{3} \\
f(a + h) &=& f(a) + hf'(a + \theta h) & \quad (0 < \theta < 1) \tag{4}
\end{eqnarray}
式(1)
\begin{equation}\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)
\end{equation}の両辺にを掛け、もう少し整理すると、
\begin{equation}
f(b) = f(a) + (b - a)f'(c) \tag{2}
\end{equation}が得られます。
さらに、式(2)で
\begin{equation}
c = \theta (b - a)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
f(b) = f(a) + (b - a)f'(a + \theta (b - a)) \quad (0 < \theta < 1) \tag{3}
\end{equation}となります。
さらに、
\begin{equation}
h = b - a
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
f(a + h) = f(a) + hf'(a + \theta h) \quad (0 < \theta < 1) \tag{4}
\end{equation}となります。
