コーシーの平均値の定理 - 数式で独楽する

コーシー(Cauchy)の平均値の定理
関数 $f(x), \ g(x)$ が区間 $[a,b ]$ で連続、区間 $(a,b)$ で微分可能
かつ、この区間で常に $g'(x) \ne 0$ ならば、
\begin{equation}
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}
\end{equation}を満たす $c \in (a,b)$ が存在する。

コーシーの平均値の定理は、(ラグランジュの)平均値の定理の拡張したものです。
逆に、コーシーの平均値の定理で $g(x)=x$ とすると、ラグランジュの平均値の定理になります。

では、証明にいきます。
まず、平均値の定理により、
\begin{equation}
g(b) - g(a) = (b - a)g'(\alpha) \ne 0
\end{equation}を満たす $\alpha \in (a, b)$ が存在します。
平均値の定理 - 数式で独楽する

さて、
\begin{equation}
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = k \tag{1}
\end{equation}とおき、関数 $F(x)$
\begin{equation}
F(x) = f(x) - f(a) - k \{ g(x) - g(a) \} \tag{2}
\end{equation}を考えます。

はじめの条件「関数 $f(x), \ g(x)$ が区間 $[a,b ]$ で連続、区間 $(a,b)$ で微分可能」であることにより、

関数 $F(x)$ もまた区間 $[a,b ]$ で連続、区間 $(a,b)$ で微分可能

です。
式(2)を微分すると、
\begin{equation}
F'(x) = f'(x) -kg'(x) \tag{3}
\end{equation}となります。

一方、式(1), (2)において
\begin{eqnarray}
F(a) &=& f(a) - f(a) - k \{ g(a) - g(a) \} \\
&=& 0 \tag{4}
\end{eqnarray}
かつ、
\begin{eqnarray}
F(b) &=& f(b) - f(a) - k \{ g(b) - g(a) \} \\
&=& f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \{ g(b) - g(a) \} \\
&=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}
となります。

式(4), (5)とロルの定理により、
\begin{equation}
F'(c) = 0 \tag{6}
\end{equation}を満たす $c \in (a,b)$ が存在します。
ロルの定理 - 数式で独楽する

式(3)により、式(6)は、
\begin{equation}
f'(c) - kg'(c) = 0
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
k = \frac{f'(c)}{g'(c)} \tag{7}
\end{equation}となります。

式(7)に式(1)を合わせると、
\begin{equation}
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}
\end{equation}を満たす $c \in (a,b)$ が存在する
ということが示されます。