東大 2019年理科第2問 - 数式で独楽する

一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P, Q, RはそれぞれAB, AD, CD上にあり、3点A, P, Qおよび3点P, Q, Rはどちらも面積が $\displaystyle \frac{1}{3}$ の三角形の3頂点であるとする。 $\displaystyle \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}}$ の最大値、最小値を求めよ。

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解答例

各点の座標を
\begin{eqnarray}
\mathrm{A}(0,0), & \quad \mathrm{B}(1,0), & \quad \mathrm{C}(1,1), & \quad \mathrm{D}(0,1) \\
\mathrm{P}(p,0), & \quad \mathrm{Q}(0,q), & \quad \mathrm{R}(r, 1)
\end{eqnarray}とします。
このとき、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{APQ} &=& \frac{1}{2} \, pq = \frac{1}{3} \\
\triangle \mathrm{PQR} &=& \frac{1}{2} \, (p+r) - \frac{1}{2} \, pq - \frac{1}{2} \, (1- q)r = \frac{1}{3}
\end{eqnarray}です。*1
これより、
\begin{eqnarray}
pq &=& \frac{2}{3} \tag{1} \\
p + q r &=& \frac{4}{3} \tag{2}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1), (2)より$p$を消去し、
\begin{eqnarray}
\frac{2}{3q} + q r &=& \frac{4}{3} \\
\therefore \quad r &=& \frac{2}{3} \left( \frac{2}{q} - \frac{1}{q^2} \right)
\end{eqnarray}を得ます。
したがって、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}} = \frac{r}{q} = \frac{2}{3} \left( \frac{2}{q^2} - \frac{1}{q^3} \right) \tag{3}
\end{equation}となります。
ここで式(3)を$f(q)$とします。このとき、
\begin{equation}
f'(q) = \frac{2}{3} \left( - \frac{4}{q^3} + \frac{3}{q^4} \right) = \frac{2}{3} \frac{-4q +3}{q^4} \tag{4}
\end{equation}です。

一方、点P, Qは辺上にあるので、
\begin{equation}
0 \leqq p \leqq 1, \quad 0 \leqq q \leqq 1
\end{equation}です。これと式(1)より、$p,q$の範囲は
\begin{equation}
\frac{2}{3} \leqq p \leqq 1, \quad \frac{2}{3} \leqq q \leqq 1
\end{equation}となります。

式(4)を踏まえると、$f(q)$の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
q & \frac{2}{3} & \cdots & \frac{3}{4} & \cdots & 1 \\ \hline
f'(q) && + & 0 & - && \\ \hline
f(q) & \frac{3}{4} & \nearrow & \frac{64}{81} & \searrow & \frac{2}{3} \\ \hline
\end{array}

以上より、DR/AQの