「ケプラーの法則」は、惑星の運動に関する法則です。
「万有引力の法則」とは、全ての物体が互いに引き合うという法則です。
前回の記事では、万有引力の法則
\begin{equation}
F = -G \frac{Mm}{r^2}
\end{equation}より、次のことを導きました。
面積速度が
\begin{equation}
r^2 \dot{\theta} = h \ \mbox{(定数)} \tag{1}
\end{equation}となること、つまりケプラーの第2法則。
万有引力とケプラーの第2法則 - 数式で独楽する
物体の軌道が
\begin{equation}
r = \frac{l}{1 +\epsilon \cos \theta} \tag{2}
\end{equation}となること、つまりケプラーの第1法則。ただし
\begin{eqnarray}
l &=& \frac{h^2}{G M} \tag{3} \\
\epsilon &=& \frac{C h^2}{G M}
\end{eqnarray}です。
万有引力とケプラーの第1法則 - 数式で独楽する
本稿では、物体の公転周期について見ていきます。
極座標系で軌道を表現した式(1)を直交座標系で表すと、
\begin{equation}
\cfrac{\left( x + \cfrac{\epsilon \, l}{1 - \epsilon^2} \right)^2}{\cfrac{l^2}{(1 -\epsilon^2)^2}} + \cfrac{y^2}{\ \cfrac{l^2}{1 -\epsilon^2} \ } =1
\end{equation}となります。
直線までの距離と定点までの距離の比が等しいの点の集合 - 数式で独楽する
軌道は楕円となります。放物線や双曲線にもなり得ますが、公転周期の話をするので楕円に限定します。
楕円の長軸、短軸
は、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{l}{1 - \epsilon^2} \tag{4} \\
b &=& \frac{l}{\sqrt{1 -\epsilon^2}}
\end{eqnarray}です。
これより、楕円の面積は、
\begin{equation}
\pi ab = \frac{\pi l^2}{(1 -\epsilon^2)^{3/2}} \tag{5}
\end{equation}となります。
一方、面積速度は式(1)より
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, r^2 \dot{\theta} = \frac{1}{2} \, h \tag{6}
\end{equation}なので、公転周期は式(5), (6)より
\begin{equation}
T = \frac{\pi ab}{h/2} = \frac{2 \pi l^2}{h(1 - \epsilon^2)^{3/2}} \tag{7}
\end{equation}となります。
式(3), (4), (7)より、
\begin{equation}
T = \frac{2 \pi}{\sqrt{G M}} \left( \frac{l}{1 - \epsilon^2} \right)^{3/2} = \frac{2 \pi}{\sqrt{G M}} \, a^{3/2}
\end{equation}を得ます。
整理すると、
\begin{eqnarray}
T^2 &=& \frac{(2 \pi)^2}{G M} \, a^3 \\
\therefore \quad \frac{T^2}{a^3} &=& \frac{4 \pi^2}{G M} \tag{8}
\end{eqnarray}となります。
式(8)は、公転周期の2乗は長軸の長さの3乗に比例することを表します。
これがケプラーの第3法則(調和の法則)です。
