0でない実数$a,b,c$は次の条件(i), (ii)を満たしながら動くものとする。
ただし、2つの曲線が接しているとは、ある共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点という。(i)
(ii) 2つの放物線
と
は接している。
(1) $C_1$と$C_2$の接点の座標を$a,c$を用いて表せ。
(2) $C_1$と$C_2$の接点が動く範囲を求め、その範囲を図示せよ。
小問(1)の解答例
\begin{eqnarray}
f(x) &=& ax^2 \\
g(x) &=& b(x -1)^2 +c
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& 2ax \\
g'(x) &=& 2b(x -1)
\end{eqnarray}です。
放物線$C_1, C_2$の接点の$x$座標を$t$とすると、かつ[f'(t)=g'(t)]なので、
\begin{eqnarray}
at^2 &=& b(t -1)^2 +c \\
at &=& b(t -1)
\end{eqnarray}です。
2つの式より$b$を消去すると、
\begin{eqnarray}
at^2 &=& at(t -1) +c \\
at &=& c \\
\therefore \quad t &=& \frac{c}{a} \\
at^2 &=& \frac{c^2}{a}
\end{eqnarray}を得ます。
ゆえに、接点の座標は、
\begin{equation}
(t, at^2) = \left( \frac{c}{a}, \, \frac{c^2}{a} \right)
\end{equation}です。
小問(2)の解答例
\begin{equation}
(x,y) = \left( \frac{c}{a}, \, \frac{c^2}{a} \right) \tag{1}
\end{equation}とすると、言うまでもなく
\begin{equation}
y = ax^2 \tag{2}
\end{equation}です。
なお、なので、
\begin{eqnarray}
x & \ne & 0 \\
y & \ne & 0
\end{eqnarray}です。
条件に式(1)を代入すると、
\begin{equation}
\frac{1}{a} + y \leqq 2
\end{equation}となります。
さらに式(2)を代入すると、
\begin{eqnarray}
\frac{x^2}{y} + y & \leqq 2 \\
x^2 + y^2 & \leqq 2y \\
x^2 + (y -1)^2 & \leqq 1
\end{eqnarray}を得ます。
また、なので、
\begin{equation}
ax = b(x -1)
\end{equation}より
\begin{equation}
x \ne 1
\end{equation}を得ます。
以上より、接点$(x,y)$が移動する領域は、
\begin{equation}
x^2 + (y -1)^2 \leqq 1, \quad x \ne 0, \ x \ne 1
\end{equation}となります。
図示すると下の図の実線と着色部になります。
破線と白丸の部分を除きます。
解説
示された条件を読み解いていけば、意外と簡単に接点の動く範囲を求めることができます。
実線$a,b,c$が0でない条件を用いて、除外される領域を示すのが面倒です。
ただ、2つの放物線の軸はそれぞれに固定されています。頂点で接することはありません。
