「ケプラーの法則」は、惑星の運動に関する法則です。
「万有引力の法則」とは、全ての物体が互いに引き合うという法則です。
前回の記事では、万有引力の法則
\begin{equation}
F = -G \frac{Mm}{r^2}
\end{equation}より、動径と偏角
が
\begin{eqnarray}
\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 &=& -\frac{G m}{r^2} \tag{1} \\
2 \dot{r} \dot{\theta} + \ddot{\theta} &=& 0 \tag{2} \\
r^2 \dot{\theta} &=& h \ \mbox{(定数)} \tag{3}
\end{eqnarray}を満たすこと、つまりケプラーの第2法則を導きました。
万有引力とケプラーの第2法則 - 数式で独楽する
本稿では、動径と偏角
の関係、すなわち物体の軌道を求めていきます。
式(1), (3)より、
\begin{equation}
\frac{d^2 r}{dt^2} = \frac{h^2}{r^3} - \frac{G M}{r^2} \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。
一方、式(2)を用いると、
\begin{equation}
\dot{r} = \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = \frac{h}{r^2} \frac{dr}{d \theta}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\frac{d}{dt} = \frac{h}{r^2} \frac{d}{d \theta}
\end{equation}となります。時間の微分を偏角の微分で表すことができます。
これより、
\begin{equation}
\ddot{r} = \frac{d^2}{dt^2} \, r = \frac{h}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{h}{r^2} \frac{dr}{d\theta} \right) = \frac{h^2}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\theta} \right)
\end{equation}と書くことができます。
これを式(4)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{d}{d\theta} \left( \frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\theta} \right) = \frac{1}{r} -\frac{G M}{h^2} \tag{5}
\end{equation}となります。
ここで
\begin{equation}
u = \frac{1}{r} \tag{6}
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
du = -\frac{dr}{r^2}
\end{equation}なので、式(5)は
\begin{eqnarray}
-\frac{d}{d\theta} \frac{du}{d\theta} &=& u -\frac{G M}{h^2} \\
\frac{d^2 u}{d\theta^2} &=& -u +\frac{G M}{h^2} \\
\frac{d^2}{d\theta^2} \left( u -\frac{G M}{h^2} \right) &=& -\left( u -\frac{G M}{h^2} \right)
\end{eqnarray}となります。これを解くと、
\begin{equation}
u -\frac{G M}{h^2} = C \cos (\theta + \alpha) \quad (C, \alpha : \mbox{任意定数})
\end{equation}を得ます。
斉次2階線型微分方程式 その2 - 数式で独楽する
ふたたび式(6)を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{r} -\frac{G M}{h^2} &=& C \cos (\theta + \alpha) \\
r &=& \cfrac{1}{C \cos (\theta + \alpha) + \cfrac{G M}{h^2}}
\end{eqnarray}となります。
この式で
\begin{eqnarray}
l &=& \frac{h^2}{G M} \\
\epsilon &=& \frac{C h^2}{G M}
\end{eqnarray}とすれば、
\begin{equation}
r = \frac{l}{1 +\epsilon \cos (\theta +\alpha)}
\end{equation}となります。
は任意なので
とすれば
\begin{equation}
r = \frac{l}{1 +\epsilon \cos \theta}
\end{equation}を得ます。
小さい物体は、 を焦点とする2次曲線を描くことが分かります。
とすれば、軌道は楕円になります。
なら軌道は円になります。
2次曲線の極座標表示 - 数式で独楽する
これが、「ケプラーの第1法則(楕円軌道の法則)」です。
続きます。
万有引力とケプラーの第3法則 - 数式で独楽する
