黄金比

「黄金比」とは、最も美しい比とされています。
古代ギリシアの彫刻によく用いられています。
およそ5:8です。

具体的には、

長方形より、その短辺を一辺とする正方形を取り除くと、小さな長方形ができます。
小さい長方形が元の長方形と相似である場合の、長辺と短辺の比

ということです。
できれば1文で表現したかったのですが、文才がないので2文になりました。

絵にすると、こういう感じです。

では、比を求めていきましょう。
短辺の長さを1、長辺の長さをとします。
大きい長方形と小さい長方形は相似なので、
\begin{equation}
\frac{x}{1} = \frac{1}{x -1} \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。
左辺は長辺の比で、右辺は短辺の比です。

式(1)の両辺にを掛けて分母を払います。
\begin{equation}
x(x -1) = 1
\end{equation}整理します。
\begin{equation}
x^2 - x - 1 = 0 \tag{2}
\end{equation}式(2)を解くと、
\begin{equation}
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{equation}となります。なお、なので、
\begin{equation}
x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}が求める解となります。

このを黄金数といい、
\begin{equation}
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}で表します。

言い換えると、黄金数は、
\begin{equation}
\phi^2 - \phi - 1 = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\phi^2 = \phi + 1
\end{equation}を満たす数ということです。

\begin{equation}
\sqrt{5} = 2.2360679\cdots
\end{equation}なので、黄金数の近似値は
\begin{equation}
\phi \approx \frac{1 + 2.2}{2} = 1.6
\end{equation}です。また、
\begin{equation}
1:\phi \approx 1:1.6 = 5:8
\end{equation}です。