黄金数の逆数

黄金数の逆数の値

黄金数
\begin{equation}
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}の逆数を求めてみます。

\begin{eqnarray}
\phi^{-1} &=& \frac{2}{1 + \sqrt{5}} \\
&=& \frac{2(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})} \\
&=& \frac{2(1 - \sqrt{5})}{1-5} \\
&=& \frac{2(1 - \sqrt{5})}{-4} \\
&=& \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
\end{eqnarray}
分母に無理数が来たので有理数にしています。*1

黄金数
\begin{equation}
\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
\end{equation}に対して、
黄金数の逆数は、
\begin{equation}
\phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
\end{equation}となります。
両者の関係は、の後ろが+1か-1かの関係です。
個人的な見解ですが、美しい関係です。

黄金数の逆数の連分数表記

黄金数の逆数を連分数で表してみましょう。
黄金数
\begin{equation}
\phi = 1 + \frac{1}{\phi}
\end{equation}を満たします。

したがって、
\begin{eqnarray}
\phi^{-1} &=& \phi - 1 \\
&=& \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{eqnarray}
となります。

別の書き方では、
\begin{equation}
\phi = [0;1,1,1,\cdots] \tag{6}
\end{equation}と書きます。
循環小数のように書くと、
\begin{equation}
\phi = \left[ 0; \dot{1} \right]
\end{equation}です。

*1:\begin{equation} (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \end{equation}を用いています。これで2乗の差の形になります。根号があれば、この操作で根号を外すことができます。