黄金数
\begin{equation}
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}は、
\begin{equation}
\phi^2 = \phi + 1 \tag{1}
\end{equation}を満たします。
式(1)の両辺をで割ると、次のようになります。
\begin{equation}
\phi = 1 + \frac{1}{\phi} \tag{2}
\end{equation}
式(2)の右辺のに、さらに式(2)を代入すると、次のようになります。
\begin{equation}
\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\phi}} \tag{3}
\end{equation}
分数の分母と分子に、さらに分数が入っているものを「繁分数」といいます。
分数の分母だけに、さらに分数が入っているものを「連分数」といいます。
連分数の分子が全て1になっているものを、「正則連分数」といいます。
式(3)は、正則連分数になっています。
式(3)の右辺のに、さらに式(2)を代入します。
\begin{equation}
\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\phi}}} \tag{4}
\end{equation}
この操作を繰り返していくと、次のようになります。
\begin{equation}
\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} \tag{5}
\end{equation}
1が並ぶ、美しい形になりました。
美しいと思っているのは、私だけかもしれません。
なお、式(5)の書き方はスペースをとるので、
\begin{equation}
\phi = [1;1,1,1,\cdots] \tag{6}
\end{equation}のように書くことが多いです。*1
循環小数のように書くと、
\begin{equation}
\phi = \left[1;\dot{1}\right]
\end{equation}となります。
*1:連分数 \begin{equation}a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}} \end{equation}は、 \begin{equation} a = [a_0;a_1,a_2,a_3] \end{equation}と書きます。
