2005年後期 京大 理系 第1問

曲線のの部分をとする。上の点Pにおける接線と軸との交点をQとし、Pにおけるの法線と軸との交点をRとする。Pが上を動くとき、の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。

解答例

なので、Pにおける接線は次のようになります。
\begin{eqnarray}
y &=& 3t^2 (x -t) +t^3 \\
y &=& 3t^2 \, x -2t^3 \tag{1}
\end{eqnarray}
法線は次の通りです。
\begin{eqnarray}
y &=& -\frac{1}{3t^2} \, (x -t) +t^3 \\
y &=& -\frac{1}{3t^2} \, x +\frac{1}{3t} +t^3 \tag{2}
\end{eqnarray}

式(1)でとすると
\begin{eqnarray}
0 &=& 3t^2 \, x -2t^3 \\
x &=& \frac{2}{3} \, t
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\mathrm{OQ} = \frac{2}{3} \, t \tag{3}
\end{equation}を得ます。

また、式(2)でのとすると
\begin{equation}
y = \frac{1}{3t} +t^3
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\mathrm{OR} = \frac{1}{3t} +t^3 \tag{4}
\end{equation}を得ます。

式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{\frac{OR}{OQ}} &=& \cfrac{\cfrac{1}{3t} +t^3}{\cfrac{2}{3} \, t} \\
&=& \frac{1 +3t^4}{2t^2} \\
&=& \frac{1}{2t^2} +\frac{3t^2}{2} \\
& \geqq & 2 \sqrt{\frac{1}{2t^2} \cdot \frac{3t^2}{2}} \\
&=& \sqrt{3}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、求める最小値はです。
相加平均、相乗平均、調和平均の関係 - 数式で独楽する

等号成立は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2t^2} &=& \frac{3t^2}{2} \\
t &=& \frac{1}{\sqrt[4]{3}}
\end{eqnarray}のときです。

解説

接線と法線の式は微分すれば求めることができます。
ORとOQの比をPの座標で表現して、本稿では相加平均と相乗平均の関係を用いています。

\begin{equation}
g(s) = \frac{1}{2s} + \frac{3s}{2}
\end{equation}とすると
\begin{equation}
g'(s) = -\frac{1}{2s^2} +\frac{3}{2} = \frac{3s^2 -1}{2s^2}
\end{equation}となります。
での増減は次の通りです。
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
s & 0 & \cdots & 1/\sqrt{3} & \cdots \\ \hline
g'(s) && - & 0 & + \\ \hline
g(s) && \searrow & \sqrt{3} & \nearrow \\ \hline
\end{array}
このようにしても
\begin{equation}
t^2 = s = \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}のとき、最小値はとなることが分かります。