東大 2020年前期理系第3問(1/2)

$-1 \leqq t \leqq 1$ を満たす実数 $t$ に対し、
\begin{eqnarray}
x(t) &=& (1 + t)\sqrt{1 + t} \\
y(t) &=& 3(1 + t)\sqrt{1 - t}
\end{eqnarray}とする。座標平面上の点P $(x(t), \, y(t))$ を考える。
(1) $-1 < t \sqrt 1$ における $t$ の関数 $\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少することを示せ。
(2) 原点とPとの距離を $f(t)$ とする。 $-1 \leqq t \leqq 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ、最大値を求めよ。
(3) $t$ が $-1 \leqq t \leqq 1$ を動くときのPの軌跡を $C$ とし、 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする。原点を中心として $D$ を時計回りに $90^\circ$ 回転させるとき、 $D$ が通過する領域の面積を求めよ。

小問(1)の答案

\begin{eqnarray}
\frac{y(t)}{x(t)} &=& \frac{3(1 + 1) \sqrt{1 - t}}{(1 + t) \sqrt{1 + t}} \\
&=& 3 \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}} \\
&=& 3 \sqrt{-1 + \frac{2}{1 + t}}
\end{eqnarray}と変形できます。
ここで、

$\sqrt{u}$ は $u \geqq 0$ で単調増加
$-1 + \displaystyle \frac{2}{1 + t}$ は $-1 < t \leqq 1$ で単調減少

なので、
$\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}$ は $-1 < t \leqq 1$ で単調に減少します。

小問(1)の解説

これは素直に式変形していけば良いでしょう。
関数の増減を考えるときは微分をしていくのも良いのですが、今回はそこまでする必要はないと思います。
ただ、根号の中を答案のように変形できるかがミソでしょう。

小問(2)の答案

三平方の定理
 三平方の定理 - 数式で独楽する
より、
\begin{eqnarray}
\{ f(t)\}^2 &=& \{ x(t) \}^2 + \{ y(t) \}^2 \\
&=& (1 + t)^3 + 9(1 + t)^2 (1 - t) \\
&=& (1 + t)^2 \{ (1 + t) - 9(1 - t) \} \\
&=& (1 + t)^2 (10 - 8t)
\end{eqnarray}を得ます。
$f(t) \geqq 0$ なので、
\begin{equation}
f(t) = (1 + t) \sqrt{10 - 8t}
\end{equation}となります。
このとき、
\begin{eqnarray}
f'(t) &=& \sqrt{10 - 8t} + \frac{-8(1 + t)}{2 \sqrt{10 - 8t}} \\
&=& \frac{6(1 - 2t)}{\sqrt{10 - 8t}}
\end{eqnarray}です。

したがって、 $f(t)$ の増減は、次のようになります。
\begin{array}{|c|rcccc|}
\hline
t & -1 & \cdots & \displaystyle \frac{1}{2} & \cdots & 1 \\ \hline
f'(t) && + & 0 & - & \\ \hline
f(t) & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2} & \searrow & 2\sqrt{2} \\ \hline
\end{array}
また、 $f(t)$ の最大値
\begin{equation}
f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3\sqrt{6}}{2}
\end{equation}を得ます。