を求めよ。
和の記号の中が簡単に書かれていますが、一筋縄ではいかなさそうです。
和の記号をばらして書いてみましょう。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k+2} =
1\cdot 2^3 + 2\cdot 2^4 + 3\cdot 2^5 + \cdots (n -1)\cdot 2^{n+1} + n\cdot 2^{n+2} \tag{0}
\end{equation}
の部分に着目して、正面突破を図ってみます。
\begin{eqnarray}
2^3 + 2^4 + 2^5 + \cdots + 2^{n+1} + 2^{n+2} &=& 2^3 & (2^n &-1) \tag{1} \\
2^4 + 2^5 + \cdots + 2^{n+1} + 2^{n+2} &=& 2^4 & (2^{n -1} &-1) \tag{2} \\
2^5 + \cdots + 2^{n+1} + 2^{n+2} &=& 2^5 & (2^{n -2} &-1) \tag{3} \\
& \vdots & \\
2^{n+1} + 2^{n+2} &=& 2^{n+1} & (2^2 &-1) \tag{n -1}\\
2^{n+2} &=& 2^{n+2} & (2 &-1) \tag{n}
\end{eqnarray}
単純な等比数列の和であれば、容易に求められます。
項が後ろに行くにつれて係数が増えていくのに着目し、後ろの項を重ねる回数を増やしています。
式(1)~(n)を全て足すと、式(0)の右辺と等しくなります。
よって、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k+2}
&=& n\cdot 2^{n+3} -(2^3 + 2^4 + 2^5 + \cdots + 2^{n+1} + 2^{n+2}) \\
&=& n\cdot 2^{n+3} -2^3 (2^n -1) \\
&=& (n -1)2^{n+3} +8
\end{eqnarray}
となります。
なお、別解があります。
慶應大(商)?年 別解 - 数式で独楽する
