1からまでの自然数の和は
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}と表すことができます。
導出は、
自然数の和 - 数式で独楽する
自然数の和 その2 - 数式で独楽する
自然数の和 その3 - 数式で独楽する
の他に、次のようなものがあります。
次の恒等式
\begin{equation}
k = \frac{1}{2} \{ k(k + 1) - (k -1)k \} \tag{1}
\end{equation}において、とします。
\begin{eqnarray}
1 &=& \frac{1}{2} (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) \\
2 &=& \frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) \\
& \vdots & \\
n - 1&=& \frac{1}{2} \{ (n - 1)n - (n - 1)(n - 2) \} \\
n &=& \frac{1}{2} \{ n(n + 1) - (n - 1)n \}
\end{eqnarray}
辺々相加えます。
右辺において、ある式の第1項は次の式の第2項と相殺されます。
また、第1式の第2項は0です。
よって、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}を得ることができます。
