共軛複素数 その3

複素数
複素数 - 数式で独楽する
\begin{equation}
z = x + y \, i \quad (x, y \in \mathbb{R}) \tag{1}
\end{equation}に対し、
\begin{equation}
\bar{z} = x - y \, i \tag{2}
\end{equation}で表される数を「共軛複素数(共役複素数)」といいます。
共軛複素数 - 数式で独楽する

実数倍の共軛

実数倍の共軛は、共軛の実数倍となります。

複素数、実数に対し
\begin{equation}
\overline{kz} = k \bar{z}
\end{equation}が成り立ちます。

• 積の共軛は、共軛の積に等しい
• 実数の共軛は、元の実数に等しい

ことから明らかです。
\begin{equation}
\overline{kz} = \bar{k} \bar{z} = k \bar{z}
\end{equation}
共軛複素数 - 数式で独楽する
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する

べき乗の共軛

べき乗(冪乗、累乗)の共軛は、共軛のべき乗になります。

複素数に対し
\begin{equation}
\overline{z^n} = \left( \bar{z} \right)^n
\end{equation}が成り立ちます。

こちらも

• 積の共軛は、共軛の積

を用いることで得られます。
\begin{eqnarray}
\overline{z^n} &=& \underbrace{\overline{z \cdot z \cdot \cdots \cdot z}}_{n \ \mbox{times}} \\
&=& \underbrace{\bar{z} \cdot \bar{z} \cdot \cdots \cdot \bar{z}}_{n \ \mbox{times}} \\
&=& \left( \bar{z} \right)^n
\end{eqnarray}となります。