2003年前期京大理系第1問 - 数式で独楽する

正の数からなる数列 $\{ a_n \}$ が次の条件(i), (ii)を満たすとき、 $\displaystyle \sum_{k = 1}^n a_k$ を求めよ。
(i) $a_1 = 1$
(ii) $\log a_n -\log a_{n -1} = \log (n -1) -\log (n +1) \quad (n \geqq 2)$

解答例
解説

解答例

条件(ii)は
\begin{equation}
\frac{a_n}{a_{n -1}} = \frac{n -1}{n +1}
\end{equation}と変形できます。
対数のご利益 - 数式で独楽する

条件(i)も合わせて、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{a_n}{a_{n -1}} \cdot \frac{a_{n -1}}{a_{n -2}} \cdot \frac{a_{n -2}}{a_{n -3}} \cdot \cdots \cdot \frac{a_4}{a_3} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot a_1 \\
&=& \frac{n -1}{n +1} \cdot \frac{n -2}{n} \cdot \frac{n -3}{n -1} \cdot \cdots \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 \\
&=& \frac{2}{(n +1)n} \\
&=& 2 \left( \frac{1}{n} -\frac{1}{n +1} \right)
\end{eqnarray}を得ます。

よって、
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^n a_k &=& \sum_{k = 1}^n 2\left( \frac{1}{k} -\frac{1}{k +1} \right) \\
&=& 2 \left \{ \left( 1 -\frac{1}{2} \right) +\left( \frac{1}{2} -\frac{1}{3} \right) +\cdots +\left( \frac{1}{n} -\frac{1}{n +1} \right) \right \} \\
&=& 2 \left( 1 -\frac{1}{n +1} \right) \\
&=& \frac{2n}{n +1}
\end{eqnarray}となります。