慶應大(商)?年別解 - 数式で独楽する

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k+2}$ を求めよ。

和の記号の中が $2^{k+2}$ ではなく、 $k\cdot 2^{k+2}$ となっていることに着目すると、次のように解くことが可能です。

まず、初項 $x$ 、公比 $x$ の等比数列の和は次の通りです。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n x^k = \frac{x^{n+1} -x}{x -1} \tag{1}
\end{equation}
両辺を $x$ で微分します。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n kx^{k -1} = \left( \frac{x^{n+1} -x}{x -1} \right)' \tag{2}
\end{equation}
微分すると、 $\displaystyle \sum_{k=1}^n kx^{k -1}$ の形が出てきました。
形は $k\cdot 2^{k+2}$ と似ています。

さて、
\begin{eqnarray}
\left( \frac{x^{n+1} -x}{x -1} \right)'
&=& \frac{\{ (n+1)x^n -1 \}(x -1) - (x^{n+1} - x)}{(x -1)^2} \\
&=& \frac{(n+1)x^{n+1} -x -(n+1)x^n +1 -x^{n+1} +x}{(x -1)^2} \\
&=& \frac{nx^{n+1} -(n+1)x^n +1}{(x -1)^2}
\end{eqnarray}
となるので、式(2)は次のようになります。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n kx^{k -1} = \frac{nx^{n+1} -(n+1)x^n +1}{(x -1)^2} \tag{3}
\end{equation}

式(3)に $x=2$ を代入すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k -1}
&=& n \cdot 2^{n+1} -(n+1)2^n +1 \\
&=& 2n \cdot 2^n -(n+1)2^n +1 \\
&=& (n -1)2^n +1
\end{eqnarray}