微分方程式の解

与えられた微分方程式を満たす関数を、微分方程式の「解」といいます。
解を求めることを、微分方程式を「解く」といいます。

例えば、微分方程式
\begin{equation}
y' = ky \quad (k \ne 0) \tag{1}
\end{equation}を解くと、
\begin{equation}
y = Ae^{kx} \quad (A: \ \mbox{任意定数}) \tag{2}
\end{equation}を得ます。
式(2)は微分方程式(1)の解、ということになります。

一般解

$n$ 階微分方程式は、 $n$ 個の任意定数を含む解を持ちます。
微分方程式の階数と同じ数の任意定数を含む解を「一般解」といいます。

微分方程式を解く過程では、どこかの段階で積分が発生します。
積分を行うと、任意定数が発生します。
$n$ 階微分方程式では、 $n$ 回の積分で $n$ 個の任意定数が出ることになります。

例えば、2階微分方程式
\begin{equation}
y'' = 0
\end{equation}の解は
\begin{equation}
y = C_1 x + C_2
\end{equation}であり、任意定数が2個出てきます。

特殊解

任意定数に特定の値を与えて得られる解を「特殊解」といいます。

初期条件

特殊解を与える条件を「初期条件」といいます。

例えば、微分方程式
\begin{equation}
y' = ky \quad (k \ne 0) \tag{1}
\end{equation}を解くと、
\begin{equation}
y = Ae^{kx} \quad (A: \ \mbox{任意定数}) \tag{2}
\end{equation}を得ます。
初期条件として、
\begin{equation}
x = 0 \ \mbox{のとき、}y = 1
\end{equation}を与えると
\begin{equation}
A=1
\end{equation}となり、特殊解
\begin{equation}
y = e^{kx}
\end{equation}を得ます。