斉次2階線型微分方程式の典型例を紹介します。
\begin{equation}
y'' = k^2 y \quad (k>0) \tag{1}
\end{equation}の一般解は、
\begin{equation}
y = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}
まずy'を別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{dx^2} - k^2 y =0 \tag{1'}
\end{equation}
この式は、次のように変形できます。
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -k \right) \left( \frac{d}{dx} +k \right) y =0
\end{equation}これより、
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -k \right) y =0 \tag{2}
\end{equation}または
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} +k \right) y=0 \tag{3}
\end{equation}です。
式(2)の一般解は
\begin{equation}
y = C_1 e^{kx} \quad (C_1: 任意定数)\tag{4}
\end{equation}です。*1
式(3)の一般解は
\begin{equation}
y = C_2 e^{-kx} \quad (C_2: 任意定数)\tag{5}
\end{equation}です。
式(4), (5)より、式(1)の一般解は、
\begin{equation}
y = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}となります。
斉次線型微分方程式の解の1次結合 - 数式で独楽する
*1:変数分離形の例 その4 - 数式で独楽する を参照ください。式(3)についても同様です。
