斉次2階線型微分方程式の典型例を紹介します。
\begin{equation}
y'' -(\lambda_1 + \lambda_2)y' + \lambda_1 \lambda_2 y= 0 \quad (\lambda_1 \ne \lambda_2) \tag{1}
\end{equation}の一般解は、
\begin{equation}
y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}
まずy'を別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{dx^2} -(\lambda_1 + \lambda_2)\frac{dy}{dx}+ \lambda_1 \lambda_2 y =0 \tag{1'}
\end{equation}
この式は、次のように変形できます。
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda_1 \right) \left( \frac{d}{dx} -\lambda_2 \right) y =0
\end{equation}これより、
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda_1 \right) y =0 \tag{2}
\end{equation}または
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda_2 \right) y=0 \tag{3}
\end{equation}です。
式(2), (3)の一般解はそれぞれ
\begin{eqnarray}
y &=& C_1 e^{\lambda_1 x} &\quad (C_1: 任意定数)\tag{4} \\
y &=& C_2 e^{\lambda_2 x} &\quad (C_2: 任意定数)\tag{5}
\end{eqnarray}
です。
変数分離形の例 その4 - 数式で独楽する
式(4), (5)より、式(1)の一般解は、
\begin{equation}
y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}となります。
斉次線型微分方程式の解の1次結合 - 数式で独楽する
ちなみに、が複素数の場合、つまり
\begin{equation}
\lambda =\Re \ \lambda + i \Im \ \lambda
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
e^{\lambda x} &=& e^{(\Re \ \lambda + i \Im \ \lambda)x} \\
&=& e^{(\Re \ \lambda) x} \ e^{i(\Im \ \lambda) x} \\
&=& e^{(\Re \ \lambda) x}\{ \cos (\Im \ \lambda) x + i \sin (\Im \ \lambda) x\}
\end{eqnarray}
です。
