定積分の部分積分 その2

定積分の部分積分は、
\begin{equation}
\int_a^b f'(x)g(x) dx = \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx
\end{equation}
定積分の部分積分 - 数式で独楽する
ですが、次のように導くことができます。

微分と定積分を考えるときに使った

• 微小変化を限りなく0に近付ける極限と
• 分割数を限りなく大きくする極限

のコンビネーションを利用します。

微分はこちら
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_i) - f(x_{i -1})}{\Delta x} \quad (\Delta x = x_i - x_{i -1}) \tag{1}
\end{equation}
微分について - 数式で独楽する

定積分はこちら
\begin{equation}
\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \quad \left( \Delta x = \frac{b -a}{n} \right) \tag{2}
\end{equation}
定積分 - 数式で独楽する

なお、区間は等分されていて、
\begin{equation}
a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n -1} < x_n = b \tag{3}
\end{equation}とします。

では、いきましょう。

\begin{eqnarray}
\int_a^b f'(x)g(x)dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i) - f(x_{i -1})}{\Delta x} g(x_i) \Delta x \\
&=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \Bigl \{ f(x_i) - f(x_{i -1}) \Bigr \} g(x_i) \tag{4}
\end{eqnarray}

いきなり、が約分で消えてしまいました。
もう少し工夫してみましょう。
式(1), (2)を用いることができる形を目指して式を変化していきます。
式(4)で、を引いて足してみます。
\begin{eqnarray}
\int_a^b f'(x)g(x)dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \biggl[ \Bigl \{ f(x_i) - f(x_{i -1}) \Bigr \} g(x_i) - f(x_{i -1})g(x_{i -1}) + f(x_{i -1})g(x_{i -1}) \biggr] \\
&=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \biggl[ f(x_i)g(x_i) - f(x_{i -1})g(x_{i -1}) - f(x_{i -1})g(x_i) + f(x_{i -1})g(x_{i -1}) \biggr] \tag{5}
\end{eqnarray}

式(5)の後半でを割って掛けると、式(1)を使える形になりそうです。
\begin{eqnarray}
\int_a^b f'(x)g(x)dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \biggl[ f(x_i)g(x_i) - f(x_{i -1})g(x_{i -1}) - f(x_{i -1}) \frac{g(x_i) - g(x_{i -1})}{\Delta x} \Delta x \biggr] \\
&=& \lim_{n \to \infty} \biggl[ f(x_n)g(x_n) - f(x_0)g(x_0) - \sum_{i=1}^n f(x_{i -1}) \frac{g(x_i) - g(x_{i -1})}{\Delta x} \Delta x \biggr] \tag{6}
\end{eqnarray}
右辺の第1, 2項ですが、和をとると番目と0番目が残ります。
さらに式(3)を用いると、
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^n \Bigl \{ f(x_i)g(x_i) - f(x_{i -1})g(x_{i -1}) \Bigr \} &=& f(x_n)g(x_n) - f(x_0)g(x_0) \\
&=& f(b)g(b) - f(a)g(a)
\end{eqnarray}
となります。

したがって、式(6)は、
\begin{eqnarray}
\int_a^b f'(x)g(x)dx &=& f(b)g(b) - f(a)g(a) - \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_{i -1}) \frac{g(x_i) - g(x_{i -1})}{\Delta x} \Delta x \\
&=& \biggl[ f(x)g(x) \biggr] _a^b - \int_a^b f(x)g'(x)dx \tag{7}
\end{eqnarray}
となります。

式(4)~(7)をまとめると、
\begin{equation}
\int_a^b f'(x)g(x)dx = \biggl[ f(x)g(x) \biggr] _a^b - \int_a^b f(x)g'(x)dx
\end{equation}が得られます。