次の微分方程式の一般解を求め、
の形で答えなさい。
\begin{equation}
\frac{d^4 y}{dx^4} - 2\frac{d^3 y}{dx^3} + 2\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = e^{2x}
\end{equation}
非斉次の線形微分方程式です。
非斉次線形微分方程式の特解を何でも良いので1つ求め、
斉次線形微分方程式の一般解を求めると、
非斉次線形微分方程式の一般解は、
\begin{equation}
y = y_g + y_s
\end{equation}で得られます。
非斉次線型微分方程式の解法 - 数式で独楽する
これを踏まえて解いていきます。
非斉次線形微分方程式の特解を求める
非斉次形
\begin{equation}
\frac{d^4 y}{dx^4} - 2\frac{d^3 y}{dx^3} + 2\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = e^{2x} \tag{1}
\end{equation}の特解を求めていきます。
式(1)の右辺がとなっているので、
\begin{equation}
y = Ae^{2x} \quad (A:定数) \tag{2}
\end{equation}という解が存在するかどうかを見ていきます。
式(2)を式(1)に代入すると、
\begin{equation}
(16A -16A +8A -4A +A)e^{2x} = e^{2x}
\end{equation}となります。
両辺をで割って整理すると、
\begin{equation}
5A =1
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
A = \frac{1}{5}
\end{equation}となります。
これを式(2)に代入し、
\begin{equation}
y = \frac{1}{5}e^{2x}
\end{equation}は式(1)の解であることが分かります。
つまり、式(1)の特解
\begin{equation}
y_s = \frac{1}{5}e^{2x} \tag{3}
\end{equation}を得ます。
斉次線形微分方程式の一般解を求める
次に、斉次形
\begin{equation}
\frac{d^4 y}{dx^4} - 2\frac{d^3 y}{dx^3} + 2\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0 \tag{4}
\end{equation}の一般解を求めていきます。
式(4)を変形していきます。
\begin{eqnarray}
\left( \frac{d^4}{dx^4} - 2\frac{d^3}{dx^3} + 2\frac{d^2}{dx^2} - 2\frac{d}{dx} + 1 \right) y &=& 0 \\
\left \{ \frac{d^3}{dx^3} \left( \frac{d}{dx} -1 \right) - \frac{d^2}{dx^2} \left( \frac{d}{dx} -1 \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{d}{dx} -1 \right) - \left( \frac{d}{dx} -1 \right) \right \} y &=& 0 \\
\left( \frac{d}{dx} -1 \right) \left( \frac{d^3}{dx^3} - \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d}{dx} \right) y &=& 0 \\
\left( \frac{d}{dx} -1 \right) \left \{ \frac{d^2}{dx^2} \left( \frac{d}{dx} -1 \right) + \left( \frac{d}{dx} -1 \right) \right \} y &=& 0 \\
\left( \frac{d}{dx} -1 \right) ^2 \left( \frac{d^2}{dx^2} + 1 \right) y &=& 0 \\
\left( \frac{d}{dx} -1 \right) ^2 \left( \frac{d}{dx} -i \right) \left( \frac{d}{dx} +i \right) y &=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}
よって、次のいずれかを満たす関数が式(5)の解となります。
\begin{eqnarray}
\left( \frac{d}{dx} -1 \right) ^2 y &=& 0 \tag{6} \\
\left( \frac{d}{dx} -i \right) y &=& 0 \tag{7} \\
\left( \frac{d}{dx} +i \right) y &=& 0 \tag{8}
\end{eqnarray}
式(6)の解は、
\begin{eqnarray}
y &=& e^x \tag{9} \\
y &=& xe^x \tag{10}
\end{eqnarray}
となります。
斉次2階線型微分方程式 その4 - 数式で独楽する
式(7), (8)の解は、それぞれ
\begin{eqnarray}
y &=& e^{ix} \tag{11} \\
y &=& e^{-ix} \tag{12}
\end{eqnarray}
となります。
したがって、式(9)~(12)を定数倍して和を取ったもの
\begin{equation}
y = C_1 e^x + C_2 xe^x +\frac{C_3 -i C_4}{2}e^{ix} + \frac{C_3 + i C_4}{2} e^{-ix} \qquad (C_1, C_2, C_3, C_4: 任意定数)
\end{equation}も式(4)の解となります。
斉次線型微分方程式の解の1次結合 - 数式で独楽する
ここで、
\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
\sin x &=& \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}
を使って虚数の指数関数を三角関数に直しておきます。
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
よって、式(4)の一般解
\begin{equation}
y_g = C_1 e^x + C_2 xe^x + C_3 \cos x + C_4 \sin x \qquad (C_1, C_2, C_3, C_4: 任意定数) \tag{13}
\end{equation}を得ます。
非斉次線形微分方程式の一般解を求める
式(3), (13)より、式(1)の一般解は、
\begin{equation}
y = y_g + y_s
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
y = C_1 e^x + C_2 xe^x + C_3 \cos x + C_4 \sin x + \frac{1}{5}e^{2x} \qquad (C_1, C_2, C_3, C_4: 任意定数)
\end{equation}となります。
