斉次2階線型微分方程式　その5

斉次2階線型微分方程式の典型例を紹介します。

\begin{equation}
y'' - 2\lambda y' + \lambda^2 y= 0 \quad (\lambda \ne 0) \tag{1}
\end{equation}の一般解は、
\begin{equation}
y = (C_1 x + C_2) \ e^{\lambda x} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}

まずy'を別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\lambda \ \frac{dy}{dx}+ \lambda^2 y =0 \tag{1'}
\end{equation}この式は、次のように変形できます。
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda \right)^2 y =0 \tag{1''}
\end{equation}これより、
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda \right) y =0 \tag{2}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
y = C \, e^{\lambda x} \quad (C:任意定数) \tag{3}
\end{equation}が(1)式の解であることは分かります。
変数分離形の例その4 - 数式で独楽する

ところで、式(3)の他に式(1)を満たすものがあるかどうか、見てみましょう。
ここで、定数変化法を「使わずに」求めていきます。
使うほうはこちら↓
斉次2階線型微分方程式その4 - 数式で独楽する

式(1'')は
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda \right) \left( \frac{d}{dx} -\lambda \right) y = 0
\end{equation}という意味です。2つ目の $\displaystyle \left( \frac{dy}{dx} -\lambda \right)$ に注目すると、
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dx} -\lambda \right) (y' -\lambda y) = 0 \tag{4}
\end{equation}と書けます。
式(4)で $y' -\lambda y$ に着目します。式(4)の一般解は、
\begin{equation}
y' -\lambda y = C_1 e^{\lambda x} \quad (C_1: 任意定数) \tag{5}
\end{equation}となります。2階の微分方程式が、1階の非斉次微分方程式になりました。

ここで式(5)の特殊解を見つけることができれば、一般解も求めることができます。
非斉次線型微分方程式の解法 - 数式で独楽する
式(5)の特殊解を
\begin{equation}
y_s = A\, xe^{\lambda x} \tag{6}
\end{equation}とします。*1

式(6)を式(5)に代入します。
\begin{equation}
A\, e^{\lambda x} + \lambda A\, xe^{\lambda x} - \lambda A\, xe^{\lambda x} = C_1 e^{\lambda x}
\end{equation}左辺の $\lambda A\, xe^{\lambda x}$ が相殺されます。
\begin{equation}
A\, e^{\lambda x} = C_1 e^{\lambda x}
\end{equation}両辺を $e^{\lambda x} (\ne 0)$ で割ると、
\begin{equation}
A = C_1
\end{equation}となります。
これを式(6)に戻して、式(5)の特殊解
\begin{equation}
y_s = C_1 \, xe^{\lambda x} \tag{7}
\end{equation}を得ます。

次に、式(5)の斉次形
\begin{equation}
y' -\lambda y = 0
\end{equation}の一般解は
\begin{equation}
y_g = C_2 \, e^{\lambda x} \quad (C_2: 任意定数) \tag{8}
\end{equation}です。

式(7), (8)より、式(5)の一般解 $y = y_s + y_g$ は
\begin{equation}
y = C_1 \, xe^{\lambda x} + C_2 \, e^{\lambda x} \quad (C_1, C_2: 任意定数)
\end{equation}つまり
\begin{equation}
y = (C_1 x + C_2) e^{\lambda x} \quad (C_1, C_2: 任意定数) \tag{9}
\end{equation}となります。なお、式(9)は式(3)を包絡しています。